Kezdőlap


Feladat:	1008. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bartók I. , Braun I. , Deutsch E. , Deutsch I. , Enyedi B. , Haar A. , Kertész G. , Kürti I. , Liebner Aladár , Losonczy I. , Pivnyik I. , Popoviciu M. , Rássy P. , Riesz K. , Riesz M. , Schwarz Gy. , Schwemmer I. , Szűcs A.
Füzet:	1902/szeptember, 20 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konvergens sorok, Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/január: 1008. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy

\begin{matrix} tg x = \frac{2 tg \frac{x}{2}}{1 - {tg}^{2} \frac{x}{2}}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} \frac{1}{x} - \frac{1}{tg x} = \frac{1}{x} + \frac{{tg}^{2} \frac{x}{2} - 1}{2 tg \frac{x}{2}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2} tg \frac{x}{2} - \frac{1}{2 tg \frac{x}{2}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2} tg \frac{x}{2} + \frac{1}{4} tg \frac{x}{4} - \frac{1}{4 tg \frac{x}{4}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2} tg \frac{x}{2} + \frac{1}{4} tg \frac{x}{4} + \frac{1}{8} tg \frac{x}{8} + ... + \frac{1}{2^{n}} tg \frac{x}{2^{n}} - \frac{1}{2^{n} tg \frac{x}{2^{n}}} ... \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} \frac{1}{2^{n} tg \frac{x}{2^{n}}} = \frac{1}{2^{n}} \cdot \frac{cos \frac{x}{2^{n}}}{sin \frac{x}{2^{n}}}, \end{matrix}

ha pedig

n

igen nagy szám, akkor

\frac{x}{2^{n}}

igen kis ív, s akkor

\begin{matrix} sin \frac{x}{2^{n}} = \frac{x}{2^{n}}, cos \frac{x}{2^{n}} = 1, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \frac{1}{2^{n}} \cdot \frac{cos \frac{x}{2^{n}}}{sin \frac{x}{2^{n}}} = \frac{x}{2^{n}} \cdot \frac{1}{\frac{x}{2^{n}}} = \frac{1}{x} \end{matrix}

s így

1

-ből lesz:

\begin{matrix} \frac{1}{x} - \frac{1}{tg x} = \frac{1}{2} tg \frac{x}{2} + \frac{1}{4} tg \frac{x}{4} + \frac{1}{8} tg \frac{x}{8} + ... \end{matrix}

(Liebner Aladár, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Bartók I., Braun I., Deutsch E., Deutsch I., Enyedi B., Haar A., Kertész G., Kürti I., Losonczy I., Pivnyik I., Popoviciu M., Rássy P., Riesz K., Riesz M., Schwarz G., Schwemmer J., Szücs A.