Kezdőlap


Feladat:	1006. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pivnyik István
Füzet:	1903/április, 221 - 222. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög területe, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/január: 1006. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az adott $A B C$ egyenlőszárú háromszögbe rajzolt $A_{1} B_{1} C_{1}$ egyenlőoldalú háromszög $A_{1} C_{1}$ oldala a $B C (a)$ oldallal $ε$ szöget zár be, akkor

\begin{matrix} a = B A_{1} + A_{1} C = \frac{a_{1} sin (ε + β)}{sin β} + \frac{a_{1} sin (60^{\circ} + ε - β)}{sin β} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{a_{1}}{sin β} [sin (ε + β) + sin (60^{\circ} + ε - β)] = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{2 a_{1}}{sin β} \cdot sin (ε + 30^{\circ}) \cdot cos (β - 30^{\circ}) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 2 a_{1} sin (ε + 30^{\circ}) \frac{cos β \cdot cos 30^{\circ} + sin β \cdot sin 30^{\circ}}{sin β} = \end{matrix}

\begin{matrix} = a_{1} sin (ε + 30^{\circ}) (\sqrt[]{3} ctg β + 1) . \end{matrix}

És minthogy a

\begin{matrix} T = \frac{a^{2}}{4} tg β \end{matrix}

egyenletből:

\begin{matrix} ctg β = \frac{a^{2}}{4 T}; \end{matrix}

azért:

\begin{matrix} a_{1} = \frac{4 a T}{(a^{2} \sqrt[]{3} + 4 T) \cdot sin (ε + 30^{\circ})} \end{matrix}

és így:

\begin{matrix} t = \frac{a_{1}^{2}}{4} \sqrt[]{3} = {[\frac{2 a T}{(a^{2} \sqrt[]{3} + 4 T) sin (ε + 30^{\circ})}]}^{2} \cdot \sqrt[]{3} . \end{matrix}

ε = 60^{\circ}

, akkor

t

minimális értéke

\begin{matrix} t = {[\frac{2 a T}{4 T + a^{2} \sqrt[]{3}}]}^{2} \cdot \sqrt[]{3} . \end{matrix}

(Pivnyik István, Nyíregyháza.)

A többi megoldó csak az

ε = 60^{\circ}

speciális esetben oldotta meg feladatot.