Kezdőlap


Feladat:	1005. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baranyó A. , Bartók I. , Bíró A. , Braun I. , Dömény E. , Dömény I. , Enyedi B. , Haar A. , Harsányi Z. , Heimlich P. , Hirschfeld Gy. , Jánosy Gy. , Kertész G. , Kiss J. , Kürti I. , Liebner A. , Losonczy I. , Messer P. , Neidenbach Emil , Pám M. , Pichler S. , Pivnyik I. , Rássy P. , Riesz K. , Riesz M. , Rosenberg J. , Sáry B. , Schuster Gy. , Schwarz Gy. , Schwemmer I. , Schöffer I. , Sonnenfeld J. , Szávay Z. , Szűcs A. , Söpkéz Gy. , Tóth B. , Weisz P.
Füzet:	1903/február, 176 - 177. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Háromszögek hasonlósága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/január: 1005. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Messe a $C C_{1}$ magasság az $A_{1} B_{1}$ oldalt $C_{2}$ pontban és legyen:

\begin{matrix} C C_{1} = m, C_{1} C_{2} = x \end{matrix}

\begin{matrix} A B = B C = C A = c és A_{1} B_{1} = c_{1} . \end{matrix}

A feladat értelmében:

\begin{matrix} 2 t = c_{1} x \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} c_{1} : c = (m - x) : m, \end{matrix}

(2)

mely egyenletekben csak

c_{1}

és

x

az ismeretlenek. A

(2)

-ből:

\begin{matrix} c_{1} x : c x = (m - x) : m, \end{matrix}

vagyis:

\begin{matrix} 2 t : \frac{2 m}{\sqrt[]{3}} x = (m - x) : m, \end{matrix}

\begin{matrix} t : x = (m - x) : \sqrt[]{3} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x = \frac{m \pm \sqrt[]{m^{2} - 4 t \sqrt[]{3}}}{2} . \end{matrix}

(3)

Feladatunknak tehát általában két megoldása van. Ha

\begin{matrix} m^{2} - 4 t \sqrt[]{3} = 0, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} t = \frac{m^{2} \sqrt[]{3}}{12} = \frac{1}{4} \cdot A B C, \end{matrix}

akkor csak egy megoldás van és mivel ez esetben

\begin{matrix} x = \frac{m}{2}, \end{matrix}

azért

A_{1} B_{1} C_{1}

szintén egyenlőoldalú háromszög.
Végül nincs megoldás, ha:

\begin{matrix} m^{2} - 4 r \sqrt[]{3} < 0, \end{matrix}

vagyis ha

\begin{matrix} t > \frac{1}{4} \cdot A B C . \end{matrix}

(Neidenbach Emil, Arad.)

A feladatot még megoldották: Baranyó A., Bartók I., Biró A., Braun J., Dömény E., Dömény I., Enyedi B., Haar A., Harsányi Z., Heimlich P., Hirschfeld Gy., Jánosy Gy., Kertész G., Kiss J., Kürti I., Liebner A., Losonczy J., Messer P., Pám M., Pichler S., Pivnyik J., Rássy P. Riesz K., Riesz M., Rosenberg J., Sáry B., Schöffer I., Schuster Gy., Schwemmer I., Schwarz Gy., Sonnenfeld J., Söpkéz Gy., Szávay Z., Szűcs A., Tóth B., Weisz P.