Kezdőlap


Feladat:	999. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baranyó A. , Bartók I. , Bíró A. , Deutsch E. , Deutsch Imre , Deutsch Z. , Enyedi B. , Haar A. , Hirschfeld Gy. , Kertész G. , Kürti I. , Liebner A. , Pfeifer Gy. , Pivnyik I. , Raab R. , Ragány B. , Riesz K. , Riesz M. , Schwarz Gy. , Selényi P. , Sonnenfeld J. , Stern D. , Szmodics H. , Szűcs A.
Füzet:	1902/június, 234 - 235. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Egyéb sokszögek hasonlósága, Húrnégyszögek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/december: 999. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Az $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ négyszög oldalai párhuzamosak az $A B C D$ négyszög oldalaival (K.M.L.VIII. évf. 248. old. 814. pl.) tehát még csak az oldalak arányosságát kell kimutatnunk. Ha az $A B C D$ négyszög átlói egymást $O$ -ban metszik, akkor:

\begin{matrix} A B O △ \sim C_{1} D_{1} O △ \end{matrix}

és

\begin{matrix} B C O △ \sim C_{1} B_{1} O △, \end{matrix}

tehát csakugyan

\begin{matrix} \frac{A B}{C_{1} D_{1}} = \frac{B C}{B_{1} C_{1}} = \frac{A D}{A_{1} D_{1}} = \frac{C D}{A_{1} B_{1}} \end{matrix}

és így:

\begin{matrix} A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} \sim A B C D . \end{matrix}

2^{\circ}

. Ha az

A A_{1}

D D_{1}

-et

F

-ben; a

B B_{1}

C C_{1}

-et

G

-ben; a

B B_{1}

D C

-t

H

-ban és végül a

C C_{1}

egyenes az

A B

oldalt

I

-ben metszi, akkor:

\begin{matrix} B H C ∢ = 90^{\circ} - A C D ∢ \end{matrix}

\begin{matrix} B I C ∢ = 90^{\circ} - A B D ∢, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} B H C ∢ = B I C ∢ . \end{matrix}

Ez egyenlőségből következik, hogy a

B C H I

négyszög húrnégyszög s így

\begin{matrix} I H C ∢ = 180^{\circ} - I B C ∢ = A D C ∢, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} A D ∥ I H . \end{matrix}

A F D

és

I G B

tehát hasonló fekvésű háromszögek, (mert oldalaik párhuzamosak), miért is a megfelelő csúcsokat összekötő egyenesek egy pontban találkoznak; az

F G

átló tehát átmegy az

A B

és

C D

oldalak metszéspontján. Hasonlóan bizonyítható a tétel a másik átlóra nézve is.

(Deutsch Imre, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Baranyó A., Bartók I., Biró A., Deutsch E., Deutsch Z., Enyedi B., Haar A., Hirschfeld Gy., Kertész G., Kürti I., Liebner A., Pfeifer Gy., Pivnyik I., Raab R., Ragány. B., Riesz K., Riesz M., Schwarz Gy., Selényi P., Sonnenfeld J., Stern D., Szmodics H., Szücs A.