Kezdőlap


Feladat:	998. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baranyó A. , Bárdos H. , Bartók Imre , Bíró A. , Braun I. , Buxbaum K. , Deutsch E. , Deutsch I. , Deutsch Z. , Enyedi B. , Haar A. , Halmos I. , Hirschfeld Gy. , Hönig S. , Kertész G. , Kiss J. , Kürti I. , Liebner A. , Losonczy I. , Neidenbach E. , Pfeifer Gy. , Pivnyik István , Preisich G. , Raab R. , Riesz K. , Riesz M. , Schwarz Gy. , Schwemmer I. , Schöffer I. , Selényi P. , Sonnenfeld J. , Stern D. , Szmodics H. , Szűcs A. , Veress G. , Weisz P.
Füzet:	1902/június, 233 - 234. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Összefüggések binomiális együtthatókra, Binomiális együtthatók, Logaritmusos egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/december: 998. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$I .$ megoldás. A megadott egyenlőség baloldala így is írható:

\begin{matrix} \frac{1}{2} [log a^{n} + (\binom{n}{1}) log (a^{n - 1} b) + (\binom{n}{2}) log (a^{n - 2 b^{2})} + ... + \end{matrix}

\begin{matrix} + (\binom{n}{n - 2}) log (a^{2} b^{n - 2}) + (\binom{n}{n - 1}) log (a b^{n - 1}) + log b^{n} + log b^{n} + \end{matrix}

\begin{matrix} + (\binom{n}{n - 1}) log (a b^{n - 1}) + (\binom{n}{n - 2}) log (a^{2} b^{n - 2}) + ... + (\binom{n}{2}) log (a^{n - 2} b^{2}) + \end{matrix}

\begin{matrix} + (\binom{n}{1}) log (a^{n - 1} b) + log a^{n}] = \frac{1}{2} [log a^{n} + log b^{n}) + \end{matrix}

\begin{matrix} + (\binom{n}{1}) (log (a^{n} + log b^{n}) + (\binom{n}{2}) (log a^{n} + log b^{n}) + ... + \end{matrix}

\begin{matrix} + (\binom{n}{n - 2}) (log a^{n} + log b^{n}) + (\binom{n}{n - 1}) (log a^{n} + log b^{n}) + \end{matrix}

\begin{matrix} + (log (a^{n}) + log b^{n})] = \frac{1}{2} (log a^{n} + log b^{n}) (1 + (\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2}) + ... + \end{matrix}

\begin{matrix} + (\binom{n}{n - 2}) + (\binom{n}{n - 1}) + 1 = \frac{1}{2} (log {(a b)}^{n} \cdot 2^{n} = log {(a b)}^{n \cdot 2^{n - 1}} . \end{matrix}

(Pivnyik István, Nyíregyháza.)

I I .

megoldás. A megadott kifejezésben a hatványmennyiségek és szorzatok logarithmusait kiszámítva s a kellő összevonásokat elvégezve, kapjuk:

\begin{matrix} [n + (\binom{n}{1}) (n - 1) + (\binom{n}{2}) (n - 2) + ... + (\binom{n}{n - 2}) \cdot 2 + (\binom{n}{n - 1})] log a + \end{matrix}

\begin{matrix} + [(\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2}) \cdot 2 + ... + (\binom{n}{n - 2}) (n - 2) + (\binom{n}{n - 1}) (n - 1) + n] log b \end{matrix}

(1)

Minthogy pedig

\begin{matrix} (\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k}), \end{matrix}

azért a szögletes zárójelben álló kifejezések egymással egyenlők s így (1) így is írható:

\begin{matrix} [(\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2}) \cdot 2 + ... + (\binom{n}{n - 2}) (n - 2) + (\binom{n}{n - 1}) (n - 1) + n] (log a + log b) = \end{matrix}

\begin{matrix} = n [1 + (\binom{n - 1}{1}) + (\binom{n - 1}{2}) + ... + (\binom{n - 1}{n - 3}) + (\binom{n - 1}{n - 2}) + 1] (log a + log b) = \end{matrix}

\begin{matrix} = n \cdot 2^{n - 1} log (a b) = log {(a b)}^{n \cdot 2^{n - 1}} . \end{matrix}

(Bartók Imre, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Baranyó A., Bárdos H., Biró A., Braun I., Buxbaum K.,Deutsch E., Deutsch I., Deutsch Z., Enyedi B., Haar A., Halmos I., Hirschfeld Gy., Hönig S., Kertész G., Kiss J., Kürti I., Liebner A., Losonczy I., Neidenbach E., Pfeifer Gy., Preisich G., Raab R., Riesz K., Riesz M., Schöffer I., Schwarz Gy., Schwemmer I., Selényi P., Sonnenfeld J., Stern D., Szmodics H., Szücs A., Veress G., Weisz P.