Kezdőlap


Feladat:	997. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baranyó A. , Bárdos H. , Bartók I. , Bíró A. , Braun I. , Demjén E. , Deutsch E. , Deutsch I. , Deutsch Z. , Enyedi B. , Fekete M. , Haar A. , Halmos I. , Harsányi Z. , Hirschfeld Gy. , Hönig S. , Jánosy Gy. , Kertész G. , Kiss J. , Kürti I. , Liebner A. , Losonczy I. , Messer P. , Neidenbach E. , Pénzes Z. , Pfeifer Gy. , Pichler S. , Pivnyik I. , Raab R. , Riesz Kornél , Riesz M. , Schöffer I. , Selényi P. , Sonnenfeld S. , Stern D. , Szántó H. , Szmodics H. , Szűcs A. , Söpkéz Gy. , Weisz P.
Füzet:	1902/június, 232 - 233. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Szöveges feladatok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/december: 997. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a tekeasztal középpontja $O$ , az átmérő tetszésszerinti pontja, melyből a golyót ellökjük $P$ , a golyó útja pedig $P A B$ . Minthogy az ütközési pontokban a beesési szög egyenlő a visszaverődési szöggel, azért $P A B ∢ = 2 O A B ∢$ és $P B A ∢ = 2 O B A ∢$ . De $O A B$ háromszög egyenlőszárú lévén, $O A B ∢ = O B A ∢$ s így $P A B ∢ = P B A ∢$ . Így tehát $P A B$ háromszög is egyenlőszárú. Ha most $P O = d, A P O ∢ = α$ és az $A B P$ háromszög oldalait érintő kör sugara $r$ , akkor minthogy e kör középpontja az $A B P$ háromszög szögfelezőinek metszéspontja $O$ ,

\begin{matrix} d sin α = r = R sin \frac{90^{\circ} - α}{2} \end{matrix}

(1)

hol

R

A B C

háromszög köré írható kör sugara. (1)-ből ered:

\begin{matrix} d^{2} sin^{2} α = R^{2} sin^{2} \frac{90^{\circ} - α}{2} . \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} sin^{2} \frac{90^{\circ} - α}{2} = \frac{1 - cos (90^{\circ} - α)}{2} = \frac{1 - sin α}{2}, \end{matrix}

mit (2)-be téve:

\begin{matrix} 2 d^{2} sin^{2} α = R^{2} sin α - R^{2} = 0, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} sin α = \frac{- R^{2} + R \sqrt[]{R^{2} + 8 d^{2}}}{4 d^{2}}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} d sin α = r = \frac{- R^{2} + R \sqrt[]{R^{2} + 8 d^{2}}}{4 d^{2}} . \end{matrix}

E formula alapján

r

megszerkeszthető. Ezután

r

-rel mint sugárral

O

-ból kört rajzolunk s végre e körhöz

P

-ből érintőket húzunk, mely érintők a kör kerületét

A

-ban és

B

-ben metszik.

(Riesz Kornél, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Baranyó A., Bárdos H., Bartók I., Biró A., Braun I., Demjén E., Deutsch E., Deutsch I., Deutsch Z., Enyedi B., Fekete M., Haar A., Halmos I., Harsányi Z., Hirschfeld Gy., Hönig S., Jánosy Gy., Kertész G., Kiss J., Kürti I., Liebner A., Losonczy I., Messer P., Neidenbach E., Pénzes Z., Pfeifer Gy., Pichler S., Pivnyik I., Raab R., Riesz M., Schöffer I., Selényi P., Sonnenfeld J., Söpkéz Gy., Stern D., Szántó H., Szmodics H., Szücs A., Weisz P.