Kezdőlap


Feladat:	996. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baranyó A. , Bárdos H. , Bartók I. , Bíró A. , Braun I. , Buxbaum K. , Deutsch E. , Deutsch I. , Deutsch Z. , Enyedi B. , Fekete M. , Haar A. , Halmos I. , Harsányi Z. , Hirschfeld Gy. , Hönig S. , Jánosy Gy. , Kertész G. , Kiss J. , Kürti I. , Liebner A. , Losonczy I. , Messer P. , Neidenbach E. , Pám M. , Pénzes Z. , Pfeifer Gy. , Pichler S. , Pivnyik I. , Popoviciu M. , Preisich G. , Raab R. , Riesz K. , Riesz M. , Róth A. , Schwarz Gy. , Schwemmer I. , Schöffer I. , Selényi P. , Sonnenfeld J. , Stern D. , Szántó H. , Szmodics Hildegárd , Szűcs A. , Söpkéz Gy. , Weisz P.
Füzet:	1902/április, 212 - 213. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Magasságvonal, Terület, felszín, Húrnégyszögek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/december: 996. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Jelöljük az adott háromszög oldalait $a, b, c$ -vel, szögeit $α, β$ és $γ$ -val, úgy a háromszög területe:

\begin{matrix} t = \frac{b \cdot c}{2} sin α . \end{matrix}

A_{1} D E △

területe:

\begin{matrix} t_{2} = \frac{D A_{1} \cdot E A_{1}}{2} sin D A_{1} E ∢ . \end{matrix}

Ámde

\begin{matrix} D A_{1} = B A_{1} sin β = c cos β \cdot sin β . \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{c}{2} sin 2 β, \end{matrix}

\begin{matrix} E A_{1} = C A_{1} sin γ = b cos γ \cdot sin γ . \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{b}{2} sin 2 γ, \end{matrix}

és

\begin{matrix} D A_{1} E ∢ = 180^{\circ} - α, \end{matrix}

mert

A D A_{1} E

négyszög húrnégyszög, s így:

\begin{matrix} t_{2} = \frac{b c}{8} sin 2 β \cdot sin 2 γ \cdot sin α, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} t_{2} = \frac{t}{4} sin 2 β \cdot sin 2 γ . \end{matrix}

2^{\circ}

A D A_{1}

húrnégyszög lévén,

\begin{matrix} E D A_{1} ∢ = E A A_{1} ∢ = 90^{\circ} - γ, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} A_{1} A_{2} = D A_{1} \cdot sin E D A_{1} ∢ = \frac{c}{2} sin 2 β \cdot cos γ . \end{matrix}

De ismeretes, hogy

\begin{matrix} c = \sqrt[]{\frac{2 t sin γ}{sin α sin β}} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} A_{1} A_{2} = cos β cos γ \sqrt[]{\frac{2 t sin β sin γ}{sin α}} . \end{matrix}

(Szmodics Hildegárd, Kaposvár.)

A feladatot még megoldották: Baranyó A., Bárdos H., Bartók I., Biró A., Braun I., Buxbaum K., Deutsch E., Deutsch I., Deutsch Z., Enyedi B., Fekete M., Haar A., Halmos I., Harsányi Z., Hirschfeld Gy., Hőnig S., Jánosy Gy., Kertész G. , Kiss J., Kürti I., Liebner A., Losonczy I., Messer P., Neidenbach E., Pám M., Pénzes Z., Pfeifer Gy., Pichler S., Pivnyik I., Popoviciu M., Preisich G., Raab R., Riesz K., Riesz M., Róth A., Schöffer I., Schwarz Gy., Schwemmer I., Selényi P., Sonnenfeld J., Söpkéz Gy., Stern D., Szántó H., Szücs A., Weisz P.