Kezdőlap


Feladat:	995. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baranyó A. , Bartók I. , Braun I. , Deutsch E. , Deutsch I. , Enyedi B. , Haar A. , Kertész Gusztáv , Kiss J. , Kürti I. , Liebner A. , Neidenbach E. , Pénzes Z. , Pfeifer Gy. , Pichler S. , Pivnyik I. , Preisich G. , Raab R. , Riesz K. , Riesz M. , Róth A. , Schwarz Gy. , Schwemmer I. , Stern D. , Szmodics H. , Weisz P.
Füzet:	1902/április, 210 - 211. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikus geometria síkban, Kombinációk, Számtani sorozat, Klasszikus valószínűség, Háromszögek nevezetes tételei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/december: 995. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy a mathematikai valószínűséget a kedvező és az összes lehetséges esetek számának a viszonya adja.
Határozuk meg először a kedvező esetek számát. Legyenek a háromszög szögei $x, y, z$ és legyen $x < y < z < 179^{\circ}$ . Minthogy a háromszög szögeinek összege $179^{\circ}$ , azért

\begin{matrix} x + y = 180^{\circ} - z, \end{matrix}

de feltételünk értelmében

y < z

, tehát

\begin{matrix} x + y < 180^{\circ} - y \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x + 2 y < 180^{\circ} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} \frac{x}{2} + y < 90^{\circ} . \end{matrix}

Szem előtt tartva eme egyenlőtlenséget és ama feltételt, hogy

x < y

, a következő kedvező esetekre jutunk:

\begin{matrix} Ha & x = 1^{\circ}, & akkor & y & lehetséges & értékei: & 2^{\circ}, & 3^{\circ}, & ... & 88^{\circ}, & 89^{\circ}, \\ " & x = 2^{\circ}, & " & " & " & " & 3^{\circ}, & 4^{\circ}, & ... & 87^{\circ}, & 88^{\circ}, \\ " & x = 3^{\circ}, & " & " & " & " & 4^{\circ}, & 5^{\circ}, & ... & 87^{\circ}, & 88^{\circ}, \\ " & x = 4^{\circ}, & " & " & " & " & 5^{\circ}, & 6^{\circ}, & ... & 86^{\circ}, & 87^{\circ}, \\ " & x = 5^{\circ}, & " & " & " & " & 6^{\circ}, & 7^{\circ}, & ... & 86^{\circ}, & 87^{\circ}, \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ " & x = 57^{\circ}, & " & " & " & " & 58^{\circ}, & 59^{\circ}, & 60^{\circ}, & 61^{\circ}, \\ " & x = 58^{\circ}, & " & " & " & " & 59^{\circ}, & 60^{\circ}, \\ " & x = 59^{\circ}, & " & " & " & " & 60^{\circ}. \end{matrix}

Így tehát

y

értékeinek száma:

\begin{matrix} 88 + 86 + 85 + 83 + 82 + ... + 4 + 2 + 1 = (88 + 85 + 82 + ... + 4 + 1) + (86 + 83 + 80 + ... + 5 + 2) = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{30}{2} (88 + 1) + \frac{29}{2} (86 + 2) = 1335 + 1276 = 2611. \end{matrix}

Minthogy a kedvező esetek száma megegyezik az

y

szög értékeinek a számával, azért tehát a kedvező esetek száma

2611

.
Az összes lehetséges esetek számát megkapjuk, ha a

179

elemből alakítható hármas kombinácziókat határozzuk meg. De

\begin{matrix} (\binom{179}{3}) = \frac{179 \cdot 178 \cdot 177}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 939929 \end{matrix}

s így a keresett valószínűség:

\begin{matrix} \frac{2611}{939929} \end{matrix}

(Kertész Gusztáv, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Baranyó A., Bartók I., Braun I., Deutsch E., Deutsch I., Enyedi B., Haar A., Kiss J., Kürti I., Liebner A., Neidenbach E., Pénzes Z., Pfeifer Gy., Pichler S., Pivnyik I., Preisich G., Raab R., Riesz K., Riesz M., Róth A., Schwemmer I., Schwarz Gy., Stern D., Szmodics H., Weisz P.