Kezdőlap


Feladat:	994. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baranyó A. , Bárdos H. , Bartók I. , Bíró A. , Braun I. , Buxbaum K. , Demjén E. , Deutsch E. , Deutsch I. , Deutsch Z. , Enyedi B. , Fekete M. , Haar Alfréd , Halmos I. , Harsányi Z. , Hirschfeld Gy. , Hönig S. , Jánosy Gy. , Kertész G. , Kiss J. , Kürti I. , Liebner A. , Losonczy I. , Messer P. , Neidenbach E. , Pám M. , Pénzes Z. , Pfeifer Gy. , Pichler S. , Pivnyik I. , Raab R. , Ragány B. , Riesz K. , Riesz M. , Róth A. , Sárközy E. , Schlesinger O. , Schuster Gy. , Schwarz Gy. , Schwemmer I. , Schöffer I. , Selényi P. , Sonnenfeld J. , Stern D. , Szántó H. , Szmodics H. , Szőke D. , Szűcs A. , Söpkéz Gy. , Veress G. , Weisz P.
Füzet:	1902/április, 209 - 210. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Számsorozatok, Szöveges feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/december: 994. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Számítsuk ki mindenekelőtt a számok összegét $1$ -től $10^{k}$ -ig. E számok oly számtani sort alkotnak, melynek első tagja $1$ , $n$ -ik tagja $10^{k}$ , a tagok száma $10^{k}$ ; így tehát e számok összege

\begin{matrix} S_{1} = \frac{10^{k}}{2} (1 + 10^{k}) . \end{matrix}

4

-gyel osztható számok szintén számtani sort alkotnak, melynek első tagja

4

, utolsó tagja

10^{k}

, a tagok száma pedig

\frac{10^{k}}{4}

. Így tehát e számok összege

\begin{matrix} S_{2} = \frac{10^{k}}{8} (4 + 10^{k}) . \end{matrix}

Vonjuk ki

S_{1}

-ből

S_{2}

-t s osszuk el a különbséget

6

-tal, akkor ered

\begin{matrix} \frac{S_{1} - S_{2}}{6} = [\frac{10^{k}}{2} (1 + 10^{k}) - \frac{10^{k}}{8} (4 + 10^{k})] : 6 = \end{matrix}

\begin{matrix} = (\frac{3}{8} 10^{2 k}) : 6 = \frac{10^{2 k}}{16} = {(\frac{10^{k}}{4})}^{2} . \end{matrix}

Minthogy feladatunk értelmében

k > 1

, azért a nyert hányados

{(\frac{10^{k}}{4})}^{2}

egy egész számnak a négyzete.
A tétel így általánosítható: Ha

a

egy tetszésszerinti

n

számnak osztója és ha az

1

-től

n

-ig terjedő számok összegéből az

a

-val osztható számok összegét kivonjuk, azután a különbséget

\frac{a (a - 1)}{2}

-vel elosztjuk, akkor hányadosul egy számnak teljes négyzetét kapjuk.
Bizonyítás.

1

-től

n

-ig a számok összege:

\begin{matrix} S_{1} = \frac{n}{2} (1 + n) . \end{matrix}

a

-val osztható számok összege:

\begin{matrix} S_{2} = \frac{n}{2 a} (a + n) . \end{matrix}

Így tehát

\begin{matrix} S_{1} - S_{2} = \frac{n}{2} + \frac{n^{2}}{2} - \frac{n}{2} - \frac{n^{2}}{2 a} = \frac{n^{2} (a - 1)}{2 a} \end{matrix}

A külömbséget osztva

\frac{a (a - 1)}{2}

-vel, ered:

\begin{matrix} \frac{n^{2}}{a^{2}} = {(\frac{n}{a})}^{2} . \end{matrix}

n = 10^{k}

és

a = 4

, akkor

\frac{a (a - 1)}{2} = 6

és

\frac{n}{a} = \frac{10^{k}}{4}

(Haar Alfréd, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Baranyó A., Bárdos H., Bartók I., Biró A., Braun I., Buxbaum K., Demjén E., Deutsch E., Deutsch I., Deutsch Z., Enyedi B., Fekete M., Halmos l., Harsányi Z., Hirschfeld Gy., Hönig S., Jánosy Gy., Kertész G., Kiss J., Kürti I., Liebner A., Messer P. , Neidenbach E., Losonczy I., Pám M., Pénzes Z., Pfeifer Gy., Pichler S., Pivnyik I., Raab R., Ragány B. , Riesz K.; Riesz M., Róth A., Sárközy E., Schlesinger O., Schöffer I., Schuster Gy., Schwarz Gy., Schwemmer I., Selényi P., Sonnenfeld J., Söpkéz Gy., Stern D., Szántó H., Szmodics H., Szőke D., Szücs A., Veress G., Weisz P.