Kezdőlap


Feladat:	979. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartók I. , Demjén E. , Deutsch E. , Deutsch I. , Enyedi B. , Haar A. , Heimlich P. , Hirschfeld Gy. , Kertész G. , Kőnig Dénes , Kürti I. , Liebner A. , Ligeti P. , Moskovits Zs. , Neidenbach E. , Pivnyik István , Preisich G. , Raab R. , Riesz K. , Riesz M. , Schuster Gy. , Selényi P. , Szűcs A. , Veress G. , Weisz P.
Füzet:	1902/február, 161 - 162. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Binomiális együtthatók, Hatványösszeg, Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/november: 979. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás.

\begin{matrix} 1^{n} + 2^{n} + 3^{n} + 4^{n} = 1^{n} + 2^{n} + {(5 - 2)}^{n} + {(5 - 1)}^{n} = \end{matrix}

\begin{matrix} = 1^{n} + 2^{n} + 5^{n} - (\binom{n}{1}) 5^{n - 1} \cdot 2 + ... \pm (\binom{n}{n - 1}) 5 \cdot 2^{n - 1} + (\binom{n}{n}) {(- 2)}^{n} + \end{matrix}

\begin{matrix} + 5^{n} - (\binom{n}{1}) 5^{n - 1} + ... \pm (\binom{n}{n - 1}) 5 + {(- 1)}^{n}; \end{matrix}

e kifejezés osztható

5

-tel, ha

\begin{matrix} 1^{n} + 2^{n} + {(- 2)}^{n} + {(- 1)}^{n} \end{matrix}

0

, vagy osztható

5

-tel; így ha

n

páratlan; ha pedig

\begin{matrix} n = 2 ν, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} 2 (2^{2 ν} + 1^{2 ν}) = 2 (4^{ν} + 1^{ν}), \end{matrix}

tehát, ha

ν

páratlan, akkor a kifejezés osztható az alapok összegével:

5

-tel, ellenben nem osztható, ha

ν

páros, vagyis

n

többszöröse

4

-nek.

(Pivnyik István, Nyíregyháza.)

II. megoldás.
Legyen először

n

páratlan szám és írjuk le az adott kifejezést a következő módon:

\begin{matrix} A = {(5 - 4)}^{n} + 4^{n} {(5 - 3)}^{n} + 3^{n} . \end{matrix}

{(5 - 4)}^{n}

kifejezés kifejtésében az utolsó

(- 4^{n})

tag lesz az egyedüli, mely

5

-tel nem osztható, de ezt a tagot az utána következő

+ 4^{n}

megsemmisíti s így

{(5 - 4)}^{n} + 4^{n}

osztható

5

-tel. Éppígy kimutathatjuk ezt

{(5 - 3)}^{n} + 3^{n}

-re nézve is s így e két kifejezés összege:

A

szintén

5

-nek többszöröse.
Ha másodszor

n

páros

(n = 2 m)

, akkor így írhatjuk kifejezésünket:

\begin{matrix} A = 1^{m} + 4^{m} + 9^{m} + 16^{m} = {(10 - 1)}^{m} + 1^{m} + {(20 - 4)}^{m} + 4^{m} . \end{matrix}

Ha feltesszük, hogy

m

páratlan, tehát

n