|
Feladat: |
979. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bartók I. , Demjén E. , Deutsch E. , Deutsch I. , Enyedi B. , Haar A. , Heimlich P. , Hirschfeld Gy. , Kertész G. , Kőnig Dénes , Kürti I. , Liebner A. , Ligeti P. , Moskovits Zs. , Neidenbach E. , Pivnyik István , Preisich G. , Raab R. , Riesz K. , Riesz M. , Schuster Gy. , Selényi P. , Szűcs A. , Veress G. , Weisz P. |
Füzet: |
1902/február,
161 - 162. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Binomiális együtthatók, Hatványösszeg, Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1901/november: 979. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. | | | | | | e kifejezés osztható -tel, ha , vagy osztható -tel; így ha páratlan; ha pedig akkor tehát, ha páratlan, akkor a kifejezés osztható az alapok összegével: -tel, ellenben nem osztható, ha páros, vagyis többszöröse -nek.
(Pivnyik István, Nyíregyháza.) | II. megoldás. Legyen először páratlan szám és írjuk le az adott kifejezést a következő módon: Az kifejezés kifejtésében az utolsó tag lesz az egyedüli, mely -tel nem osztható, de ezt a tagot az utána következő megsemmisíti s így osztható -tel. Éppígy kimutathatjuk ezt -re nézve is s így e két kifejezés összege: szintén -nek többszöröse. Ha másodszor páros , akkor így írhatjuk kifejezésünket: | | Ha feltesszük, hogy páratlan, tehát -gyel nem osztható páros szám, akkor a és kifejezések utolsó tagjait az és tagok, hasonlóan, mint előbb, ismét megsemmisítik. tehát ez esetben is -nek többszöröse. Bebizonyítottuk most már oszthatóságát -tel azon esetekben, midőn -gyel nem osztható. Most még bebizonyítandó, hogy nem osztható -tel, ha osztható -gyel, ha tehát . Ez esetben: | | Az számok mindegyike -tel osztva maradékul -et ád s így hasonlóképp -edik hatványuk is. Négy ily hatvány összege alakú s így ez esetben -tel nem osztható. A feladatot még megoldották: Bartók I., Demjén E., Deutsch E., Deutsch I., Enyedi B., Haar A., Heimlich P., Hirschfeld Gy., Kertész G., Kürti I., Liebner A., Ligeti P., Moskovits Zs., Neidenbach E., Preisich G., Raab R., Riesz K., Riesz M., Schuster Gy., Selényi P., Szücs A., Veres G., Weisz P. |
|