Feladat:	977. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baranyó A. ,  Bartók Imre ,  Deutsch E. ,  Deutsch I. ,  Enyedi B. ,  Haar A. ,  Jánosy Gy. ,  König D. ,  Liebner A. ,  Ligeti P. ,  Losonczy I. ,  Neidenbach E. ,  Pivnyik István ,  Riesz K. ,  Schwemmer I. ,  Weisz P.
Füzet:	1902/szeptember, 27 - 28. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Középponti és kerületi szögek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/november: 977. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   $I\mathrm{.}$ megoldás. Az ábrából látható, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\delta =\text{tg}\left(\phi -\psi \right)=\frac{\text{tg}\phi -\text{tg}\psi }{1+\text{tg}\phi \cdot \text{tg}\psi }=\frac{\frac{x}{b}-\frac{x}{a+b}}{1+\frac{x^2}{b\left(a+b\right)}}=\frac{ax}{b\left(a+b\right)+x^3}=m}\end{array}$ rendezve $\begin{array}{c}{\displaystyle m{x}^2-ax+b\left(a+b\right)m=0}\end{array}$ miből $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{a\pm \sqrt[]{a^2-4b\left(a+b\right)m^2}}{2m}\mathrm{,}}\end{array}$ minthogy $x$ távolságot jelent, kell, hogy legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle a^2\geqq 4b\left(a+b\right)m^2\mathrm{,}}\end{array}$ miből $\begin{array}{c}{\displaystyle m_{\text{max}}=\frac{a}{2\sqrt[]{b\left(a+b\right)}}}\end{array}$ De $m=\text{tg}\delta$, tehát $m$ maximális értékével egyúttal $\delta$ is maximális s így $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{a}{\frac{a}{\sqrt[]{b\left(a+b\right)}}}=\sqrt[]{b\left(a+b\right)}}\end{array}$ vagyis $x$ mértani középarányos a torony tényleges és a rúddal megnagyobbított magassága között.   (Pivnyik István, Nyíregyháza.)   $II\mathrm{.}$ megoldás. Legyen $D$ a keresett pont. $BDA\sphericalangle$ szög tehát az $O$ középpontú és az $A\mathrm{,}B$ és $D$ pontokon átmenő kör kerületi szöge. E szög állandó hosszúságú $AB$ húr mellett, annál nagyobb, minél kisebb az $ABD$ háromszög köré írható kör sugara. A legkisebb sugarú kör, mely az $A$ és $B$ pontokon átmegy s melynek a $CD$ egyenessel is van közös pontja az, mely $CD$-t érinti. E körben lesz a $\delta$ szög maximális. E kör sugara $BO=OD=LC=b+\frac{a}{2}$. Ennélfogva a keresett távolság $\begin{array}{c}{\displaystyle CD=LO=\sqrt[]{{\overline{BO}}^2-{\overline{BL}}^2}=\sqrt[]{b^2+ab}=\sqrt[]{b\left(a+b\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ Az $O$ pontot úgy szerkesztjük meg, hogy az $AB$ egyenes $L$ középpontjában emelt merőlegest $B$ pontból $b+\frac{a}{2}$ sugarú körrel metsszük.   (Bartók Imre,Budapest.)   A feladatot még megoldották: Baranyó A., Deutsch E., Deutsch I., Enyedi B., Haar A., Jánosy Gy., König D., Liebner A., Ligeti P., Losonczy I., Neidenbach E., Riesz K., Schwemmer I., Weisz P.