Kezdőlap


Feladat:	976. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartók I. , Deutsch E. , Deutsch I. , Enyedi B. , Haar Alfréd , Kürti I. , König D. , Liebner A. , Ligeti P. , Moskovits Zs. , Pivnyik I. , Popoviciu M. , Riesz K. , Schwemmer J. , Szűcs A.
Füzet:	1902/október, 48 - 49. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrnégyszögek, Érintőnégyszögek, Heron-képlet, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/november: 976. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy $A B C D$ húrnégyszög egyúttal érintő négyszög is, azért

\begin{matrix} a + c = b + d = s \end{matrix}

(1)

Ezt tekintetbe véve, a

\begin{matrix} t = \sqrt[]{(s - a) (s - b) (s - c) (s - d)} \end{matrix}

képletből lesz

\begin{matrix} t = \sqrt[]{a \cdot b \cdot c \cdot d} . \end{matrix}

2^{\circ}

. A szögeket a következő képletből kapjuk:

\begin{matrix} tg \frac{a}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - b)}{(s - c) (s - d)}} = \sqrt[]{\frac{c d}{a b}}, stb. \end{matrix}

Ha a négyszög

A B

oldalának

A_{1}

érintési pontját a beírt

r

sugarú kör középpontjával összekapcsoljuk, akkor

\begin{matrix} t = \frac{r}{2} (a + b + c + d) = r \cdot s, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} r = \frac{t}{s} = \frac{\sqrt[]{a b c d}}{a + c} = \frac{\sqrt[]{a b c d}}{b + d} . \end{matrix}

(Haar Alfréd, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Bartók I., Deutsch E., Deutsch I., Enyedi B., König D., Kürti I., Liebner A., Ligeti P., Pivnyik I., Moskovits Zs., Popoviciu M., Riesz K., Schvemmer J., Szücs A.