Kezdőlap


Feladat:	975. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartók I. , Demjén E. , Deutsch E. , Deutsch I. , Enyedi B. , Haar A. , Jánosy Gy. , Kürti I. , Liebner A. , Moskovits Zs. , Neidenbach Emil , Pivnyik I. , Popoviciu M. , Riesz K. , Schuster Gy. , Schwemmer I. , Sonnenfeld J. , Szűcs A.
Füzet:	1902/március, 196. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Húrnégyszögek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/november: 975. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A húrnégyszög területe:

\begin{matrix} t = \sqrt[]{(s - a) (s - b) (s - c) (s - d)}, ha s = \frac{a + b + c + d}{2} . \end{matrix}

Minthogy

\begin{matrix} a : b : c : d = 5 : 6 : 7 : 9, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} b = \frac{6 a}{5}, c = \frac{7 a}{5}, d = \frac{9 a}{5}, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} s = \frac{27 a}{10}; \end{matrix}

ezt az értéket a terület képletébe téve:

\begin{matrix} a = 7,609 cm, b = 9,131 cm, c = 10,653 cm, d = 13,696 cm . \end{matrix}

A szögeket a következő képletből nyerjük

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - b)}{(s - c) (s - d)}}, tg \frac{β}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - b) (s - c)}{(s - a) (s - d)}}, stb. \end{matrix}

ezekből kapjuk:

\begin{matrix} α = 68^{\circ} 13' 34'', β = 96^{\circ} 56', γ = 111^{\circ} 46' 26'', δ = 83^{\circ} 41' . \end{matrix}

(Neidenbach Emil, Arad.)

A feladatot még megoldották: Bartók I., Demjén E., Deutsch E., Deutsch I., Enyedi B., Haar A., Jánosy Gy., Kürti I., Liebner A., Moskovits Zs., Pivnyik I., Popoviciu M., Riesz K., Schuster Gy., Schwemmer J., Sonnenfeld J., Szűcs A.