Kezdőlap


Feladat:	974. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bartók I. , Deutsch E. , Deutsch I. , Enyedi B. , Haar Alfréd , Moskovits Zs. , Pivnyik I. , Riesz K. , Riesz M.
Füzet:	1902/április, 220. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Euler-egyenes, Súlypont, Magasságpont, Ellipszis, mint mértani hely, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/november: 974. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Legyen a $B C = a$ oldal középpontja $K$ , az $A$ -ból rajzolt magasság talppontja $A_{1}$ , a magassági pont $M$ , a tömegközéppont $S$ . Ha az Euler-féle egyenes párhuzamos $B C$ -vel, akkor $A S M △ \sim A K A_{1} △$ , s így

\begin{matrix} A M : A A_{1} = A S : A K = 2 : 3. \end{matrix}

(1)

Minthogy

\begin{matrix} A M = a \end{matrix}

és

\begin{matrix} A A_{1} = \frac{a sin β sin γ}{sin α}, \end{matrix}

azért (1) így is írható:

\begin{matrix} a \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} tg β tg γ = 3. \end{matrix}

(2)

2^{\circ}

. Ha

A A_{1} = m, A_{1} C = a_{1}

, akkor e feltétel még így is írható:

\begin{matrix} m^{2} = 3 a_{1} (a - a_{1}) \end{matrix}

(3)

Minthogy pedig a

B C

fölé rajzolható kör mértani helye ama pontoknak, melyekre nézve

\begin{matrix} m_{1}^{2} = a_{1} (a - a_{1}) \end{matrix}

(4)

azért (3)-at (4)-gyel osztva:

\begin{matrix} \frac{m}{m_{1}} = \sqrt[]{3} = const., \end{matrix}

a mi azt mutatja, hogy

A

-nak mértani helye oly ellipsis, melynek nagy tengelye

a \sqrt[]{3}

, kis tengelye pedig

a

3^{\circ}

. Minthogy

A K = 3 S K

, azért a tömegközéppont mértani helye oly ellipsis, melynek tengelyei:

\frac{a}{3} \sqrt[]{3}

és

\frac{a}{3}

4^{\circ}

. A magassági pont mértani helye ugyancsak ellipsis. Nagy tengelye

B C = a

, kis tengelye

\frac{1}{3} a \sqrt[]{3}

Haar Alfréd, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Bartók I., Deutsch E., Deutsch I., Enyedi B., Moskovits Zs., Pivnyik I., Riesz K., Riesz M.