Kezdőlap


Feladat:	972. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baranyó A. , Bartók I. , Demjén E. , Deutsch E. , Deutsch I. , Enyedi B. , Haar A. , Hirschfeld Gy. , Kertész G. , Kürti I. , Ligeti P. , Losonczy I. , Moskovits Zs. , Pivnyik I. , Popoviciu M. , Preisich Gusztáv , Raab R. , Riesz K. , Riesz M. , Schuster Gy. , Selényi P. , Szűcs A. , Veress G. , Weisz P.
Füzet:	1902/február, 172. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Magasságpont, Körülírt kör középpontja, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/november: 972. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy

\begin{matrix} B A A_{1} ∢ = A_{1} A C ∢, A B B_{1} ∢ = B_{1} B C ∢ és A C C_{1} ∢ = C_{1} C B ∢, \end{matrix}

azért

A A_{1}, B B_{1}

és

C C_{1}

szögfelezők s így egymást

O_{1}

-ben, az

A B C

háromszögbe írható kör középpontjában metszik.
A feladat többi részének bizonyítását a K. M. L. VII. évfolyamának 123. oldalán találjuk meg. Ennek alapján

\begin{matrix} C_{1} B_{2} B_{1} ∢ = A_{1} C_{2} C_{1} ∢ = B_{1} A_{2} A_{1} ∢ = 90^{\circ} . \end{matrix}

Minthogy tehát az

A_{1} B_{1} C_{1} △

oldalai merőlegesek az eredeti háromszög oldalelezőire, azért

O_{1}

pont az

A_{1} B_{1} C_{1} △

magasságpontja. Továbbá

\begin{matrix} A A_{2} = O_{1} A_{2}, B B_{2} = O_{1} B_{2}, C C_{2} = O_{1} C_{2} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} A B C △ \sim A_{2} B_{2} C_{2} △ . \end{matrix}

Ha végre az

A B C

és

A_{2} B_{2} C_{2}

háromszögek területei

t

, illetőleg

t_{1}

, akkor

\begin{matrix} t : t_{1} = {\bar{A B}}^{2} : {\bar{A_{2} B_{2}}}^{2} = 4 : 1 \end{matrix}

s így

\begin{matrix} t = 4 t_{2} . \end{matrix}

(Preisich Gusztáv, Beszterczebánya.)

A feladatot még megoldották: Baranyó A., Bartók I., Demjén E., Deutsch E., Deutsch I., Enyedi B., Haar A., Hirschfeld Gy., Kertész G., Kürti I., Ligeti P. , Losonczy I., Moskovits Zs., Pivnyik I., Popoviciu M., Raab R., Riesz K., Riesz M., Selényi P., Schuster Gy., Szücs A., Veress G., Weisz P.