Kezdőlap


Feladat:	970. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bartók I. , Dömény I. , Haar A. , König Dénes , Szűcs A.
Füzet:	1902/október, 43 - 44. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Prímszámok, Prímtényezős felbontás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/november: 970. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha elvégezzük a következő kifejezésben:

\begin{matrix} {\begin{matrix} (1 - p_{1} + p_{1}^{2} - p_{1}^{3} - p_{1}^{3} + ... + {(- 1)}^{α_{1}} p_{1}^{α_{1}}) \times \\ (1 - p_{2} + p_{2}^{2} - p_{2}^{3} - p_{2}^{3} + ... + {(- 1)}^{α_{2}} p_{2}^{α_{2}}) \times \\ ... \\ (1 - p_{r} + p_{r}^{2} - p_{r}^{3} - p_{r}^{3} + ... + {(- 1)}^{α_{r}} p_{r}^{α_{r}}) . \end{matrix} \end{matrix}

(1)

kijelölt szorzást, akkor egy algebrai összeget nyerünk, melynek tagjai törzsszámosztóiból

(p_{1}, p_{2}, ..., p_{3})

alkotott oly szorzatok lesznek, melyekben

p_{1}

, a

0, 1, 2, ...

vagy

α_{1}

-edik;

p_{2}

, a

0, 1, 2, ...

vagy

α_{2}

-dik;

...

és végül

p_{r}

0, 1, 2, ...

vagy

α_{r}

-dik hatványon fordul elő. Minden tag tehát az

m

-nek osztója lesz, sőt, mivel az említett feltételek mellett alkotható szorzatok mindegyike

(1)

kifejtésében megvan, azért a tagok közt

m

minden osztója egyszer és csak egyszer fordul elő; positív előjellel most már azon osztók fognak ezen összegben szerepelni, melyekre vonatkozólag

α_{1} + α_{2} + ...

páros, tehát

S (d) = 1

, míg negatív jellel azon tagok lesznek kifejtésében, melyekre vonatkozólag

S (d) = - 1

. Így tehát, hogy a keresett

\sum S (d)

-t megkapjuk, elég

(1)

-ben az összes

p

-k helyébe

1

-et helyettesíteni. Ekkor ugyanis

(1)

kifejtésében az egyes tagok helyébe

1

vagy

- 1

fog kerülni, a szerint, hogy

S (d) = 1

vagy

S (d) = - 1

. Így tehát valóban

(1)

kifejtése megadja

\sum S (d)

értékét, ha a

p

-k helyébe

1

-et teszünk. Az

m = p_{1}^{α_{1}} p_{2}^{α_{2}} ... p_{r}^{α_{r}}

szám akkor és csak akkor teljes négyzet, ha az összes

α

-k párosak; ez esetben az

(1)

egyes soraiban lévő kifejezések

1

-gyel lesznek egyenlők s így szorzatuk:

\sum S (d) = 1

. Ha azonban már csak egy

α

is, pl.

α_{r}

, páratlan, tehát

m

nem teljes négyzet, akkor az

(1)

-nek

r

-edik sorában lévő kifejezés

0

lesz s így az egész kifejezés

\sum S (d) = 0

(König Dénes, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Bartók I., Dömény I., Haar A., Szücs A.