Kezdőlap


Feladat:	969. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baranyó A. , Bartók I. , Deutsch I. , Enyedi B. , Haar A. , Hirschfeld Gy. , Pivnyik István , Szűcs A. , Weisz P.
Füzet:	1902/január, 137. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Egyenlőtlenségek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Paraméteres egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/november: 969. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltételeink értelmében az $(a - c) (c - b)$ szorzat mindkét tényezője egyenlő előjelű s így a szorzat mindig positív, miért is:

\begin{matrix} {(x - c)}^{2} + (a - c) (c - b) > 0. \end{matrix}

Továbbá

\begin{matrix} {(x - c)}^{2} + (a - c) (c - b) = x^{2} - 2 c x + a c - a b + b c = \end{matrix}

\begin{matrix} = x^{2} - (b + c) x + b c + x^{2} - (a + c) x + a c - [x^{2} - (a + b) x + a b] = \end{matrix}

\begin{matrix} = (x - b) (x - c) + (x - a) (x - c) - (x - a) (x - b) = \end{matrix}

\begin{matrix} (x - a) (x - b) (x - c) (\frac{1}{x - a} + \frac{1}{x - b} - \frac{1}{x - c}) > 0. \end{matrix}

Ha tehát

\begin{matrix} (x - a) (x - b) (x - c) > 0, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} \frac{1}{x - a} + \frac{1}{x - b} > \frac{1}{x - c} . \end{matrix}

(Pivnyik István, Nyíregyháza.)

A feladatot még megoldották: Baranyó A., Bartók I., Deutsch I., Enyedi B., Haar A., Hirschfeld Gy., Szücs A., Weisz P.