Kezdőlap


Feladat:	960. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartók I. , Enyedi B. , Haar A. , Hirschfeld Gy. , König D. , Liebner A. , Pivnyik István , Riesz K. , Szűcs A.
Füzet:	1902/március, 188 - 189. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összefüggések binomiális együtthatókra, Algebrai átalakítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/október: 960. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy

\begin{matrix} (\binom{n}{k}) = (\binom{n + 1}{k + 1}) - (\binom{n}{k + 1}) \end{matrix}

\begin{matrix} (\binom{n + 1}{k}) = (\binom{n + 2}{k + 1}) - (\binom{n + 1}{k + 1}) \end{matrix}

\begin{matrix} (\binom{n + 2}{k}) = (\binom{n + 3}{k + 1}) - (\binom{n + 2}{k + 1}) \end{matrix}

\begin{matrix} ... \end{matrix}

\begin{matrix} ... \end{matrix}

\begin{matrix} ... \end{matrix}

\begin{matrix} (\binom{n + m - 1}{k}) = (\binom{n + m}{k + 1}) - (\binom{n + m - 1}{k + 1}) \end{matrix}

\begin{matrix} (\binom{n + m}{k}) = (\binom{n + m + 1}{k + 1}) - (\binom{n + m}{k + 1}) \end{matrix}

eme egyenlőségeket összeadva :

\begin{matrix} (\binom{n}{k}) + (\binom{n + 1}{k}) + (\binom{n + 2}{k}) + ... + (\binom{n + m}{k}) = (\binom{n + m + 1}{k + 1}) - (\binom{n}{k + 1}) . \end{matrix}

A megadott sor pedig így írható:

\begin{matrix} n! (\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 ... n}{1 \cdot 2 \cdot 3 ... n} + \frac{2 \cdot 3 \cdot 4 ... (n + 1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 ... n} + ... + \frac{(m + 1) (m + 2) (m + 3) ... (m + n)}{1 \cdot 2 \cdot 3 ... n}) = \end{matrix}

\begin{matrix} = n! [(\binom{n}{n}) + (\binom{n + 1}{n}) + ... + (\binom{n + m}{n})] = n! [(\binom{n + m + 1}{n + 1}) - (\binom{n}{n + 1})] = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{n! (m + 1) (m + 2) (m + 3) ... (n + m + 1)}{n + 1} - n! \cdot 0 = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{(m + 1) (m + 2) (m + 3) ... (n + m + 1)}{n + 1} . \end{matrix}

(Pivnyik István, Nyíregyháza.)

A feladatot még megoldották: Bartók I., Enyedi B., Haar A., Hirschfeld Gy., König D., Liebner A., Riesz K., Szücs A.