Kezdőlap


Feladat:	959. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartók I. , Dömény I. , Enyedi B. , Haar A. , Kőnig Dénes , Kürti I. , Pivnyik I. , Riesz K. , Riesz M. , Szűcs A.
Füzet:	1902/november, 69 - 70. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb feladványok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/október: 959. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott egyenlet discriminánsa:

\begin{matrix} - 4 y^{2} - x^{2} + 4 ⋛ 0 \end{matrix}

(1)

a szerint, a mint a gyökök valósak, egyenlők vagy képzetesek.

(1)

így is írható:

\begin{matrix} 4 y^{2} + x^{2} - 4 ⋚ 0. \end{matrix}

4 y^{2} + x^{2} - 4 = 0

oly ellipsis egyenlete, melynek középpontja a coordinata-rendszer kezdőpontja, nagy tengelyének végpontjai:

(- 2, 0)

és

(2, 0)

, kis tengelyének végpontjai pedig

(0, 1)

és

(0, - 1)

Már most

(a)

a gyökök valósak, ha

\begin{matrix} 4 y^{2} + x^{2} - 4 < 0, \end{matrix}

vagyis ha az

(x, y)

pont az említett ellipsisen belül van.

(b)

a gyökök egyenlők, ha

\begin{matrix} 4 y^{2} + x^{2} - 4 = 0; \end{matrix}

ez esetben az

(x, y)

pontok mértani helye az ellipsis kerülete;

(c)

a gyökök képzetesek, ha

\begin{matrix} 4 y^{2} + x^{2} - 4 > 0; \end{matrix}

ekkor

(x, y)

bármely az ellipsisen kívül fekvő pontot jelenthet.

(a_{1})

Mindkét gyök positív, ha összegük:

y > 0

és szorzatuk:

\begin{matrix} \frac{1}{4} (5 y^{2} + x^{2} - 4) > 0; \end{matrix}

(x, y)

tehát minden oly pont lehet, mely az említett ellipsis és az

5 y^{2} + x^{2} - 4 = 0

egyenletű ellipsis közt, az

x x'

tengely felett van. Eme ellipsis nagy tengelyének végpontja:

(- 2, 0)

és

(2, 0)

; kis tengelyének végpontjai pedig:

(0, \sqrt[]{\frac{4}{5}})

és

(0, - \sqrt[]{\frac{4}{5}})

(a_{2})

Épp így a két ellipsis közt, de az

x x'

tengely alatt vannak a pontok, ha mindkét gyök negatív.

(a_{3})

Végül, ha a gyökök ellenkező előjelűek, akkor szorzatuk, s így

5 y^{2} + x^{2} - 4

< 0

, tehát

(x, y)

a kis ellipsisen belül lévő minden pontot jelenthet, mert ezek egyszersmind a nagy ellipsisen is belül lesznek.

(Kőnig Dénes, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Bartók I., Dömény I., Enyedi B., Haar A., Kürti I., Pivnyik I., Riesz K., Riesz M., Szücs A.