Kezdőlap


Feladat:	954. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bartók I. , Deutsch E. , Deutsch I. , Eckstein J. , Enyedi B. , Haar A. , Harsányi Z. , Hirschfeld Gy. , Kelemen M. , Kertész G. , König D. , Losonczy I. , Moskovits Zs. , Neidenbach E. , Pivnyik I. , Prékopa D. , Raab Rezső , Riesz K. , Riesz M. , Schwarz Gy. , Szávay Z. , Szűcs A. , Weisz P.
Füzet:	1902/február, 170. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paralelogrammák, Paralelepipedon, Szögfüggvények a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/szeptember: 954. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az egy szögletben összefutó éleket $a, b$ és $c$ -vel, az egyenközlap átlóját $d$ -vel, akkor:

\begin{matrix} sin^{2} α_{1} + sin^{2} α_{2} + sin^{2} α_{3} = \frac{a^{2}}{d^{2}} + \frac{b^{2}}{d^{2}} + \frac{c^{2}}{d^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{d^{2}} = 1. \end{matrix}

Továbbá

\begin{matrix} cos^{2} α_{1} + cos^{2} α_{2} + cos^{2} α_{3} = 1 - sin^{2} α_{1} + 1 - sin^{2} α_{2} + \end{matrix}

\begin{matrix} + 1 - sin^{2} α_{3} = 3 - (sin^{2} α_{1} + sin^{2} α_{2} + sin^{2} α_{3}) = 2. \end{matrix}

Jegyzet. Ha

d

-nek az egy csúcsban összefutó élekkel alkotott szögeit jelöljük az

a_{1}, a_{2}, a_{3}

betűkkel, akkor éppen megfordítva :

\begin{matrix} sin^{2} α_{1} + sin^{2} α_{2} + sin^{2} α_{3}) = 2 \end{matrix}

és

\begin{matrix} cos^{2} α_{1} + cos^{2} α_{2} + cos^{2} α_{3} = 1. \end{matrix}

(Raab Rezső, Győr.)

A feladatot még megoldották: Bartók I., Deutsch E., Deutsch I., Eckstein J., Enyedi B., Haar A., Harsányi Z., Hirschfeld Gy., Kelemen M., Kertész G., König D., Losonczy I., Moskovits Zs., Neidenbach E., Pivnyik I., Prékopa D., Riesz K., Riesz M., Schwarz Gy., Szávay Z., Szücs A., Weisz P.