Kezdőlap


Feladat:	948. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartók I. , Deutsch Ede , Deutsch I. , Enyedi B. , Hirschfeld Gy. , Kelemen M. , Kertész G. , König D. , Losonczy I. , Messer P. , Pivnyik I. , Riesz K. , Riesz M. , Söpkéz Gy. , Weisz P.
Füzet:	1902/január, 143. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Középvonal, Szögfelező egyenes, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/szeptember: 948. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a $B C$ oldalhoz tartozó magasság talppontja $E$ , akkor:

\begin{matrix} {\bar{A B}}^{2} = {\bar{A D}}^{2} + {\bar{B D}}^{2} \pm B D \cdot D E, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} {\bar{A C}}^{2} = {\bar{A D}}^{2} + {\bar{D C}}^{2} \mp D C \cdot D E . \end{matrix}

(2)

Hogy e két egyenletből

D E

-t eliminálhassuk, szorozzuk meg az

(1)

-et

D C

-vel és a

(2)

-t

B D

-vel és azután adjuk össze azokat. Lesz tehát:

\begin{matrix} {\bar{A B}}^{2} \cdot D C + {\bar{A C}}^{2} \cdot B D = {\bar{A D}}^{2} \cdot (B D + D C) + B D \cdot D C \cdot (B D + D C) \end{matrix}

vagyis:

\begin{matrix} {\bar{A B}}^{2} \cdot C D + {\bar{A C}}^{2} \cdot B D = {\bar{A D}}^{2} \cdot B C + B C \cdot B D \cdot B C . \end{matrix}

(Deutsch Ede, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Bartók I., Deutsch I., Enyedi B.. Hirschfeld Gy., Kelemen M., Kertész G., König D., Losonczy I., Messer P., Pivnyik I., Riesz K., Riesz M., Söpkéz Gy., Weisz P.

1^{\circ}

. Stewart tételének speciális esete a következő jól ismert tétel: "Valamely háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal felének kétszeres négyzetével, hozzáadva az ezen oldalhoz tartozó középvonal négyzetének kétszeresét".
Ha ugyanis

D

felezi a

B C

-t, akkor egyszerűsítve:

\begin{matrix} {\bar{A B}}^{2} + {\bar{A C}}^{2} = 2 {\bar{A D}}^{2} + 2 {(\frac{B C}{2})}^{2} . \end{matrix}

2^{\circ}

. Kiszámíthatjuk még a szögfelezők hosszát is. Ez esetben ugyanis pl. a belső szögfelezőkre nézve:

\begin{matrix} B D : D C = A B : A C \end{matrix}

, tehát:

\begin{matrix} {\bar{A D}}^{2} = A B \cdot A C - B D \cdot D C . \end{matrix}

3^{\circ}

. Ugyanarra a

D

pontra nézve

C D = m

és

B D = n

állandók, tehát

\begin{matrix} m \cdot {\bar{A B}}^{2} + n \cdot {\bar{A C}}^{2} = constans, \end{matrix}

vagyis azon pontok mértani helye, melyek kielégítik az

\begin{matrix} m \cdot {\bar{A B}}^{2} + n \cdot {\bar{A C}}^{2} = K^{2} \end{matrix}

egyenletet, hol

K^{2}

állandó érték, oly körön feküsznek, melynek középpontja

D

és sugara

A D

D

helyzete meghatározható a

\begin{matrix} \frac{C D}{B D} = \frac{m}{n} \end{matrix}

arányból, az

A D

pedig az

\begin{matrix} {\bar{A D}}^{2} \cdot B C + B C \cdot B D \cdot C D = K^{2} \end{matrix}

egyenletből.