Kezdőlap


Feladat:	947. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartók Imre , Deutsch I. , Enyedi B. , Haar A. , Pivnyik I. , Prékopa D. , Riesz K. , Riesz M.
Füzet:	1902/január, 141 - 142. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/szeptember: 947. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A B C$ a keresett, $O_{1} O_{2} O_{3}$ pedig az adott körök középpontjai által meghatározott háromszög, s legyenek $D, D_{1}, E, E_{1}, F$ és $F_{1}$ a keletkezett érintési pontok. A keresett terület ekkor

\begin{matrix} T = A D O_{1} D_{1} + B E O_{2} E_{1} + C F O_{3} F_{1} + D E O_{2} O_{1} + E_{1} F_{1} O_{3} O_{2} + F D_{1} O_{1} O_{3} + O_{1} O_{2} O_{3} . \end{matrix}

\begin{matrix} A D O_{1} D_{1} = 2 A D O_{1} = r_{1} \cdot A D = r_{1}^{2} ctg \frac{A}{2}, \end{matrix}

hasonlóképpen

\begin{matrix} B E O_{2} E_{1} = r_{2}^{2} ctg \frac{B}{2} és C F O_{3} F_{1} = r_{3}^{2} ctg \frac{C}{2} . \end{matrix}

Továbbá

\begin{matrix} D E O_{2} O_{1} = \frac{r_{1} + r_{2}}{2} \sqrt[]{{(r_{1} + r_{2})}^{2} - {(r_{1} - r_{2})}^{2}} = (r_{1} + r_{2}) \sqrt[]{r_{1} r_{2}}, \end{matrix}

éppen így

\begin{matrix} E_{1} F_{1} O_{3} O_{2} = (r_{2} + r_{3}) \sqrt[]{(r_{2} r_{3}} (r_{1} + r_{2}) \sqrt[]{r_{1} r_{2}} és F D_{1} O_{1} O_{3} = (r_{3} + r_{1}) \sqrt[]{(r_{1} r_{3}} \end{matrix}

s végre

\begin{matrix} O_{1} O_{2} O_{3} = \sqrt[]{(r_{1} + r_{2} + r_{3}) r_{1} r_{2} r_{3}}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} T = r_{1}^{2} ctg \frac{A}{2} + r_{2}^{2} ctg \frac{B}{2} + r_{3}^{2} ctg \frac{C}{2} + \end{matrix}

\begin{matrix} + (r_{1} + r_{2}) \sqrt[]{(r_{1} r_{2}} + (r_{2} + r_{3}) \sqrt[]{(r_{2} r_{3}} + (r_{3} + r_{1}) \sqrt[]{(r_{1} r_{3}} + \sqrt[]{(r_{1} + r_{2} + r_{3}) r_{1} r_{2} r_{3}} . \end{matrix}

Határozzuk most meg az

A B C

háromszög egyik, pl.

A

szögét. Bocsássunk e végből

O_{1}

-ből

E O_{2}

-re és

F O_{3}

-ra merőlegest, miáltal a

G

és

H

pontokat kapjuk.
Ekkor

\begin{matrix} A ∢ = O_{2} O_{1} O_{3} ∢ + O_{3} O_{1} H ∢ - O_{2} O_{1} G ∢, \end{matrix}

hol a jobb oldalon levő szögeket a

\begin{matrix} sin \frac{O_{2} O_{1} O_{3}}{2} = \sqrt[]{\frac{r_{2} r_{3}}{(r_{1} + r_{2}) (r_{1} + r_{3})}}, \end{matrix}

\begin{matrix} sin O_{3} O_{1} H = \frac{r_{3} - r_{1}}{r_{3} + r_{1}} és sin O_{2} O_{1} G = \frac{r_{1} - r_{2}}{r_{1} + r_{2}} \end{matrix}

képletek szolgáltatják. Teljesen azonos eljárással határozhatjuk meg a

B

és

C

szöget is.
A megadott számértékeket behelyettesítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} T = 1467,5 {mm}^{2} . \end{matrix}

(Riesz Kornél, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Deutsch I., Enyedi B., Haar A., Pivnyik I., Prékopa D., Riesz K., Riesz M.