Kezdőlap


Feladat:	944. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartók I. , Deutsch I. , Enyedi B. , Haar A. , Hirschfeld Gy. , Kertész G. , Kőnig Dénes , Messer P. , Moskovits Zs. , Pivnyik I. , Riesz K. , Riesz M. , Szűcs A. , Söpkéz Gy. , Weisz P.
Füzet:	1901/november, 69. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/szeptember: 944. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott egyenlet discriminánsa:

\begin{matrix} D = 16 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2} + a^{2} c^{2} - a^{2} b c - a b^{2} c - a b c^{2}), \end{matrix}

vagy, ha egyszerűség kedvéért az

\begin{matrix} a b = γ, b c = α, c a = β \end{matrix}

(1)

értékeket helyettesítjük:

\begin{matrix} D = 16 (γ^{2} + α^{2} + β^{2} - β γ - α γ - α β) . \end{matrix}

Hogy ez a kifejezés mindig positív, s így a gyökök valósak, kitűnik, ha az

\begin{matrix} α^{2} + β^{2} - 2 α β > 0 \end{matrix}

\begin{matrix} α^{2} + γ^{2} - 2 α γ > 0 \end{matrix}

\begin{matrix} β^{2} + γ^{2} - 2 β γ > 0 \end{matrix}

egyenlőtlenségeket összeadjuk és a két oldal

8

-szorosát vesszük.
Ha

b = c

, akkor

(1)

szerint egyszersmind

β = γ

; ezt

D

-be helyettesítve, nyerjük, hogy

\begin{matrix} D = 16 {(α - β)}^{2} \end{matrix}

D

tehát teljes négyzet és a gyökök racionálisak.
Legyen most

b c = a b + a c - a^{2}

. Szorozzuk meg az

(1)

alatti első és harmadik egyenletet és osszuk el

b c

-vel a két oldalt, akkor nyerjük, hogy

a^{2} = \frac{β γ}{α}

; ezt és az

(1)

alatti egyenleteket helyettesítve ez az egyenlet így alakul:

\begin{matrix} α = β + γ - \frac{β γ}{α}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} α^{2} = α β + α γ - β γ; \end{matrix}

α^{2}

ezen értékét

D

-be helyettesítve:

\begin{matrix} D = 16 {(β - γ)}^{2} . \end{matrix}

A gyökök ez esetben tehát szintén raczionálisak.

(Kőnig Dénes, Budapest.)

A feladatot méq megoldották: Bartók I., Deutsch I., Enyedi B., Haar A., Hirschfeld Gy., Kertész G., Messer P., Moskovits Zs., Pivnyik I., Riesz K., Riesz M., Söpkéz Gy., Szücs A., Weisz P.