Feladat: 939. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bartók I. ,  Blau A. ,  Enyedi B. ,  Hirschfeld Gy. ,  Kertész Gusztáv ,  König D. ,  Pivnyik I. ,  Schmidl I. ,  Tóbiás J. L. ,  Wohlstein S. 
Füzet: 1902/szeptember, 26 - 27. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Körök, Hatványvonal, hatványpont, Körérintők, Pont körre vonatkozó hatványa, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1901/április: 939. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a keresett kör középpontja O; az AB illetőleg a CD húr középpontjai: K és L. Jelöljük végül az AB és CD metszéspontját P-vel.
1∘. Tekintsük a feladatot megoldva és rajzoljunk az AB és CD húrok, mint átmérők fölé köröket.

 
 

Ha már most P-ből a K és L körökhöz vonható érintők érintéspontjait S-sel illetőleg T-vel jelöljük, akkor:
PA⋅PB=PC⋅PD=PS¯2=PT¯2,
miből kitűnik, hogy P a K és L körök hatványvonalán fekszik.
A szerkesztés tehát úgy eszközölhető, hogy megszerkesztjük a K és L körök hatványvonalát, melyet ABP-ben metsz, míg PL az L kört a keresett C és D pontokban metszi.
2∘. Ábránkból kitűnik, hogy PL olyan derékszögű háromszögnek az átfogója, melynek egyik befogója PT éppen akkora, mint PS; a másik befogója pedig
LT=CD2.
A PL hosszúság tehát megszerkeszthető, a mivel ezt az esetet visszavezettük az első esetre.
3∘. A felezési pontokban, mint talppontokban emelt merőlegesek metszése adja a keresett kör középpontját.
 

(Kertész Gusztáv, Pécs.)
 

A feladatot még megoldották: Bartók I., Blau A., Enyedi B., Hirschfeld Gy., König D., Pivnyik I., Schmidl I., Tóbiás J. L., Wohlstein S.