Kezdőlap


Feladat:	937. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartók I. , Enyedi Béla , Haar A. , König D. , Pintér M. , Pivnyik I. , Schmidl I. , Tóbiás J. L. , Wohlstein S.
Füzet:	1901/november, 66 - 67. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Ellipszis egyenlete, Ellipszis, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/április: 937. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Oldjuk meg az egyenletet $z$ -re nézve; lesz:

\begin{matrix} z = \frac{- x \pm \sqrt[]{x^{2} + 4 y^{2} - 4}}{2} . \end{matrix}

Az egyenlet gyökei akkor valósak és külömbözők, egyenlők, illetőleg komplexek, ha

\begin{matrix} x^{2} + 4 y^{2} - 4 ⋛ 0. \end{matrix}

x^{2} + 4 y^{2} - 4 = 0

oly ellipsis egyenlete, melynek középpontja a coordináta-rendszer kezdőpontja, melynek nagy tengelye

4

egység, kis tengelye

2

egység

(a)

A gyökök valósak és külömbözők, ha

\begin{matrix} x^{2} + 4 y^{2} - 4 > 0 \end{matrix}

vagy más alakban

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{4} + y^{2} > 1. \end{matrix}

Az eme egyenlőtlenséget kielégítő pontok mind az ellipsisen kívül vannak.

(b)

A gyökök egyenlők, ha

\begin{matrix} x^{2} + 4 y^{2} - 4 = 0. \end{matrix}

Ez esetben a megfelelő pontok mértani helye az ellipsis kerülete.

(c)

A gyökök complexek, ha

\begin{matrix} x^{2} + 4 y^{2} - 4 < 0. \end{matrix}

Ezen esetben

x

és

y

mindama pontok coordinátáit jelentik, mely pontok az ellipsisen belül vannak.
Az

(a)

regióba tartozó mértani helyek a következőképpen csoportosíthatók:

(a_{1})

Mindkét gyök positív, ha

\begin{matrix} z_{1} + z_{2} = - x > 0 és z_{1} z_{2} = 1 - y^{2} > 0 \end{matrix}

- x

akkor

> 0

, ha negatív;

1 - y^{2} > 0

, ha absolut értéke kisebb

1

-nél, vagyis ha

- 1 < y < 1

. A megfelelő pontok tehát az

y = 1

és

y = - 1

egyenletek által meghatározott egyenesek között az ordináta tengelytől balra vannak, mint azt ábránk mutatja.

(a_{2})

Mindkét gyök negatív, ha

\begin{matrix} z_{1} + z_{2} = - x < 0 \end{matrix}

és

\begin{matrix} z_{1} z_{1} = 1 - y^{2} > 0. \end{matrix}

- x < 0

, ha

- 1 < y < 1

. Vagyis a megfelelő pontok az

y = 1

és

y = - 1

egyenesek között, de az ordináta tengelytől jobbra vannak.

(a_{3})

Ha a két gyök ellenkező előjelű, akkor a gyökök összege positív vagy negatív, a gyökök szorzata pedig negatív, akkor tehát

\begin{matrix} z_{1} + z_{2} = - x ≷ 0, z_{1} z_{2} = 1 - y^{2} < 0. \end{matrix}

A megfelelő pontok abscissái negatívok vagy positívok, ordinátái pedig vagy nagyobbak egynél, vagy kisebbek

- 1

-nél. Eme pontok tehat az

y = 1

egyenes fölött és az

y = - 1

egyenes alatt vannak.

(Enyedi Béla. Budapest.)

A feladatot még megoldották: Bartók I., Haar A., Kőnig D., Pintér M., Pivnyik I., Schmidl I., Tóbiás L., Wohlstein S.