Kezdőlap


Feladat:	935. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartók I. , Haar A. , Hirschfeld Gy. , Kelemen M. , Kertész G. , Klein A. , König D. , Ligeti Pál , Pintér Miksa , Pivnyik I. , Póka Gy. , Schmidl I. , Schwarz Gy. , Tóbiás J. L. , Weisz P. , Wohlstein S.
Füzet:	1901/november, 64 - 65. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/április: 935. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az $a^{2} - 4 b$ az

\begin{matrix} x^{2} + a x + b = 0 \end{matrix}

egyenlet diskriminánsa. Ha

a^{2} - 4 b

teljes négyzet, akkor a gyökök

(x_{1}

és

x_{2})

egész számok.
Ha ugyanis

a

páros, akkor és vele együtt

a^{2} - 4 b

is páros, tehát

a \pm \sqrt[]{a^{2} - 4 b}

osztható az

x

nevezőjében előforduló

2

-vel.
Ha pedig

a

páratlan, akkor

a^{2} - 4 b

és vele együtt

\sqrt[]{a^{2} - 4 b}

is páratlan, tehát

a \pm \sqrt[]{a^{2} - 4 b}

megint páros, vagyis a gyökök ismét egész számok.
És minthogy

\begin{matrix} a = - (x_{1} + x_{2}) \end{matrix}

és

\begin{matrix} b = x_{1} \cdot x_{2}, \end{matrix}

tehát

1^{\circ}

\begin{matrix} a^{2} - 2 b = x_{1}^{2} + 2 x_{1} \cdot x_{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} \cdot x_{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \end{matrix}

és

2^{\circ}

\begin{matrix} 3 a b - a^{3} = - 3 x_{1}^{2} x_{2} - 3 x_{1} x_{2}^{2} + x_{1}^{3} + 3 x_{1}^{2} x_{2} + x_{1}^{3} + 3 x_{1}^{2} x_{2} + 3 x_{1} x_{2}^{2} + x_{2}^{3} = x_{1}^{3} + x_{2}^{3} . \end{matrix}

(Ligeti Pál, Budapest.)

Hasonló megoldást küldött be: Póka Gy.

II. megoldás. Legyen

a^{2} - 4 b

a - 2 b_{1}

négyzete, akkor

\begin{matrix} a^{2} - 4 b = a^{2} - 4 a b_{1} + 4 b_{1}^{2} \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} b = a b_{1} - b_{1}^{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} a^{2} - 2 b = a^{2} - 2 a b_{1} + 2 b_{1}^{2} = {(a - b_{1})}^{2} + b_{1}^{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} 3 a b - a^{3} = 3 a^{2} b_{1} - 3 a b_{1}^{2} - a^{3} = - a^{3} + 3 a^{2} b_{1} - 3 a b_{1}^{2} + b_{1}^{3} - b_{1}^{3} = {(- a + b_{1})}^{3} + {(- b_{1})}^{3} \end{matrix}

(Pintér Miksa, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Bartók l., Haar A., Hirschfeld Gy., Kelemen M., Kertész G., Klein A., König D. , Pivnyik J., Schmidl I., Schwarz Gy., Tóbiás L., Wohlstein S., Weisz P.