Kezdőlap


Feladat:	931. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baranyó E. , Bartók I. , Bayer B. , Déri Zs. , Enyedi B. , Kertész F. , Klein A. , Kőnig Dénes , Mixich P. , Pilczer P. , Pivnyik I. , Póka Gy. , Schmidl I. , Sümegi Gy. , Szmodics H. , Tóbiás J. L. , Weisz P. , Wohlstein S.
Füzet:	1902/január, 139 - 140. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes körkúpok, Terület, felszín, Térfogat, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/március: 931. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $r$ és $r_{1}$ sugarú kúpok oldalvonala $x$ illetőleg $y$ . Feltételeinket akkor a következő egyenletek fejezik ki:

\begin{matrix} r π x + r^{2} π = r_{1} π y + r_{1}^{2} π \end{matrix}

és

\begin{matrix} r^{2} \sqrt[]{x^{2} - r^{2}} = r_{1}^{2} \sqrt[]{y^{2} - r_{1}^{2}}; \end{matrix}

melyek így is írhatók:

\begin{matrix} r (x + r) = r_{1} (y + r_{1}), \end{matrix}

\begin{matrix} r^{4} (x^{2} - r^{2}) = r_{1}^{4} (y^{2} - r_{1}^{2}) . \end{matrix}

(1)

E két egyenletet egymással elosztva:

\begin{matrix} r^{3} (x - r) = r_{1}^{3} (y - r_{1}) \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} r^{3} x - r_{1}^{3} y = r^{4} - r_{1}^{4}; \end{matrix}

(2)

(1)

kis átalakítás s mindkét oldalának

r_{1}^{2}

-tel való szorzása után így írható:

\begin{matrix} r r_{1}^{2} x - r_{1}^{3} y = r_{1}^{4} - r_{1}^{2} r^{2} . \end{matrix}

Ezen egyenletet

(2)

-ből levonva, nyerjük, hogy

\begin{matrix} x (r^{3} - r r_{1}^{2}) = r^{4} - 2 r_{1}^{4} + r_{1}^{2} r^{2} \end{matrix}

és innen

\begin{matrix} x = \frac{r^{4} - 2 r_{1}^{4} + r_{1}^{2} r^{2}}{r^{3} - r r_{1}^{2}} = \frac{r^{2} + 2 r_{1}^{2}}{r}; \end{matrix}

az analógia folytán:

\begin{matrix} y = \frac{r_{1}^{2} + 2 r^{2}}{r_{1}} . \end{matrix}

(König Dénes, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Baranyó E., Bartók I., Bayer B., Déri Zs., Enyedi B., Klein A., Kertész F., Mixich P., Pilczer P., Pivnyik I., Póka Gy., Schmidl I., Sümegi Gy., Szmodics H., Tóbiás J. L., Weisz P., Wohlstein S.