Kezdőlap


Feladat:	930. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aczél F. , Bartók I. , Déri Zs. , Dessauer A. , Enyedi B. , Haar A. , Kőnig Dénes , Póka Gy. , Riesz K. , Schmidl I. , Szmodics H. , Tóbiás J. L. , Wohlstein S.
Füzet:	1901/december, 119 - 120. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenes körhengerek, Egyenes körkúpok, Térfogat, Anyagok keverése és töltögetése, Szögfüggvények a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/március: 930. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kúp oldalai által bezárt szög $α$ ; akkor a csúccsal lefelé álló kúp vízben levő részének köbtartalma:

\begin{matrix} \frac{{(m + n)}^{3} {tg}^{2} \frac{α}{2}}{3} π = r^{2} π n, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} = \sqrt[]{\frac{3 n r^{2}}{{(m + n)}^{3}}} = \frac{r}{m + n} \sqrt[]{\frac{3 n}{m + n}} \end{matrix}

Ha a kúpot az alappal lefelé tesszük a vízbe, akkor a vízben levő csonka kúp köbtartalma (

ρ_{1}^{2}

és

ρ_{2}^{2}

és az alsó és felső alap sugara)

\begin{matrix} (ρ_{1}^{2} + ρ_{2}^{2} + ρ_{1} ρ_{2}) \frac{π (m + p)}{3} = r^{2} π ρ \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} ρ_{1} - ρ_{2} = (m + p) tg \frac{α}{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} ρ_{1} = ρ_{2} + (m + p) tg \frac{α}{2} . \end{matrix}

(1)

-ben

ρ_{1}

helyébe ezt az értéket tesszük, akkor

\begin{matrix} ({[ρ_{2} + (m + p) tg \frac{α}{2}]}^{2} + ρ_{2}^{2} + ρ_{2} [ρ_{2} + (m + p) tg \frac{α}{2}]) \frac{(m + p)}{3} = r^{2} p; \end{matrix}

e másodfokú egyenletből nyerjük értékét

ρ_{2}

értékét és ennek alapján

ρ_{1}

és a kúp köbtartalmának értékét is.

(König Dénes, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Aczél F., Bartók I., Déri Zs., Dessauer A., Enyedi B., Haar A., Póka Gy., Riesz K., Schmidl I., Szmodics H., Tóbiás J. L., Wohlstein S.