Kezdőlap


Feladat:	926. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aczél F. , Bartók I. , Bayer B. , Blau A. , Haar A. , Hirschfeld Gy. , Jánosy I. , Kertész F. , König D. , Lázár L. , Pilczer P. , Pivnyik J. , Póka Gyula , Schmidl I. , Simon S. , Sümegi Gy. , Szmodics H. , Tóbiás J. L.
Füzet:	1901/június, 245 - 246. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összefüggések binomiális együtthatókra, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/március: 926. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Ismeretes, hogy

\begin{matrix} (\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k}) \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} (\binom{n - 1}{k}) = (\binom{n}{k}) - (\binom{n - 1}{k - 1}) \end{matrix}

(1)

épp így

\begin{matrix} (\binom{n - 1}{k - 1}) = (\binom{n}{k - 1}) - (\binom{n - 1}{k - 2}) \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} ... \end{matrix}

\begin{matrix} ... \end{matrix}

\begin{matrix} ... \end{matrix}

\begin{matrix} (\binom{n - 1}{2}) = (\binom{n}{2}) - (\binom{n - 1}{1}) \end{matrix}

(k-1)

\begin{matrix} (\binom{n - 1}{1}) = (\binom{n}{1}) - (\binom{n - 1}{0}) \end{matrix}

(k)

végre

\begin{matrix} (\binom{n - 1}{0}) = (\binom{n}{0}) \end{matrix}

(k+1)

Ha a páratlan számú egyenletek összegéből levonjuk a páros számú egyenletek összegét, akkor nyerjük, hogy :

\begin{matrix} (\binom{n - 1}{k}) = (\binom{n}{k}) - (\binom{n}{k - 1}) + (\binom{n}{k + 2}) - ... \pm (\binom{n}{1}) \mp (\binom{n}{0}) . \end{matrix}

2^{\circ}

. Az

\begin{matrix} (\binom{n + 1}{k}) = (\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k - 1}) \end{matrix}

\begin{matrix} (\binom{n}{k - 1}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k - 2}) \end{matrix}

\begin{matrix} ... \end{matrix}

\begin{matrix} ... \end{matrix}

\begin{matrix} ... \end{matrix}

\begin{matrix} (\binom{n - k}{1}) = (\binom{n - k + 1}{1}) + (\binom{n - k + 1}{0}) \end{matrix}

és

\begin{matrix} (\binom{n - k + 1}{0}) = 1 \end{matrix}

egyenletek összegét képezve, kapjuk, hogy:

\begin{matrix} (\binom{n + 1}{k}) = (\binom{n}{k}) + (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 2}{k - 2}) + ... + 1. \end{matrix}

(Póka Gyula, Losoncz.)

A feladatot még megoldották: Aczél F., Bartók I., Bayer B., Blau Á., Haar A., Hirschfeld Gy., Jánosy I., Kertész F., König D., Lázár L., Pilczer P., Pivnyik J., Schmidl I., Simon S., Sümegi Gy., Szmodics H., Tóbiás J. L.