Kezdőlap


Feladat:	925. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kőnig Dénes , Pintér Miksa
Füzet:	1901/június, 244 - 245. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Oszthatósági feladatok, Nevezetes azonosságok, Legnagyobb közös osztó, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/március: 925. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Segédtétel: Két $0$ -tól és egymástól különböző $α$ és $β$ egész szám négyzetének különbsége $3$ és $- 3$ között nem lehet.

Bizonyítás. Minthogy

\begin{matrix} {(- α)}^{2} - {(- β)}^{2} = {(- α)}^{2} - β^{2} = α^{2} - {(- β)}^{2} = α^{2} - β^{2}, \end{matrix}

azért tételünket elégséges positív

α

és

β

számok esetén kimutatni.

1^{\circ}

. Legyen

α > β

, akkor

\begin{matrix} α = β + β', \end{matrix}

a hol

β' 0

-tól különböző positív egész szám. Ekkor:

\begin{matrix} α^{2} - β^{2} = {(β + β')}^{2} - β^{2} = 2 β β' + β'^{2} \end{matrix}

α^{2} - β^{2}

tehát legkisebb, ha

β

és

β'

a legkisebb positív egész számmal, azaz

1

-gyel egyenlők, mikor is

\begin{matrix} α^{2} - β^{2} = 3. \end{matrix}

2^{\circ}

. Ha

α < β

, akkor

\begin{matrix} {(α^{2} - β^{2})}_{m a x} = - {(β^{2} - α)}^{2})_{m i n} = - 3. \end{matrix}

I. Legyen

a

és

b

legnagyobb közös osztója

d

, tehát:

\begin{matrix} a = α d \end{matrix}

a hol

α

és

β

relativ prímszámok, akkor:

\begin{matrix} \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} = \frac{α^{2} + β^{2}}{α^{2} - β^{2}} \end{matrix}

(I.)

Ha (I.) egész szám, akkor az

1

-gyel nagyobb, illetőleg kisebb

\begin{matrix} \frac{α^{2} + β^{2}}{α^{2} - β^{2}} + 1 = \frac{2 α^{2}}{α^{2} - β^{2}} és \frac{α^{2} + β^{2}}{α^{2} - β^{2}} - 1 = \frac{2 β^{2}}{α^{2} + β^{2}} \end{matrix}

(II.)

számok is egészek, vagyis

2 α^{2}

is, meg

2 β^{2}

is osztható

(α^{2} - β^{2})

-tel. De

α

és

β

és velük együtt

α^{2}

és

β^{2}

is relatív prímszámok, tehát (II.)) számok csak akkor lehetnének egészek, ha

2

többszöröse lenne

(α^{2} - β^{2})

-nek, a mi pedig segédtételünk értelmében, egymástól és

0

-tól különböző

a

és

b

egész számok esetében, lehetetlen. Tehát a (II.) és velük együtt az (I.) szám sem lehet egész.

(Kőnig Dénes, Budapest.)

A feladatot még megoldotta: Pintér Miksa.

(Mindkét megoldó a segédtételt csak felhasználja, de nem bizonyítja).