Kezdőlap


Feladat:	924. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aczél F. , Baranyó E. , Bartók I. , Bayer B. , Beck P. , Blau A. , Bogdán G. , Dessauer A. , Deutsch I. , Enyedi B. , Haar A. , Hirschfeld Gy. , Kertész F. , Kertész G. , Kőnig Dénes , Lázár L. , Pilczer P. , Pintér M. , Pivnyik J. , Póka Gy. , Popoviciu M. , Riesz K. , Schmidl I. , Simon S. , Sümegi Gy. , Szmodics H. , Tóbiás J. L. , Ungár B. , Wohlstein S.
Füzet:	1901/június, 243 - 244. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Maradékos osztás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/március: 924. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Legyen $a$ -nak illetőleg $b$ -nek $(a - b)$ -vel való elosztásakor fellépő hányados és maradék: $α$ és $r$ , illetőleg $β$ és $r'$ , akkor:

\begin{matrix} a = (a - b) α + r \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} b = (a - b) β + r' \end{matrix}

(2)

innen

\begin{matrix} a - b = (a - b) (α - β) + (r - r') \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} (a - b) [α - β - 1] = r' - r, \end{matrix}

r' - r

tehát többszöröse az

(a - b)

-nek és minthogy

\begin{matrix} | r' - r | < | a - b |, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} r' - r = 0 vagyis r = r' . \end{matrix}

2^{\circ}

. (1) és (2)-ből tehát

\begin{matrix} a^{m} = {[(a - b) α]}^{m} + (\binom{m}{1}) {[(a - b) α]}^{m - 1}] r + ... + (\binom{m}{m - 1}) [(a - b) α] r^{m - 1} + r^{m} \end{matrix}

\begin{matrix} b^{m} = {[(a - b) β]}^{m} + (\binom{m}{1}) {[(a - b) β]}^{m - 2}] r + ... + (\binom{m}{m - 1}) [(a - b) β] r^{m - 1} + r^{m} \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} a^{m} = p (a - b) + r^{m} = A (a - b) + R \end{matrix}

és

\begin{matrix} b^{m} = p' (a - b) + r^{m} = B (a - b) + R, \end{matrix}

valóban tehát

\begin{matrix} a^{m} - b^{m} = (A - B) (a - b) \end{matrix}

vagyis

a^{m} - b^{m}

osztható

(a - b)

-vel, a mi különben az

\begin{matrix} a^{m} - b^{m} = (a - b) (a^{m - 1} + a^{m - 2} b + ... + a b^{m - 1} + b^{m - 1}) \end{matrix}

relatióból is kitűnik.

(Kőnig Dénes, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Aczél F., Baranyó E., Bartók I., Bayer B., Beck P., Blau A., Bogdán G., Dessauer A., Deutsch I., Enyedi B., Haar A., Hirschfeld Gy., Kertész F., Kertész G. , Lázár L., Pilczer P., Pintér M., Pivnyik J. , Póka Gy., Popoviciu M., Riesz K., Schmidl I., Simon S., Sümegi Gy., Szmodics H., Tóbiás J. L., Ungár B., Wohlstein S.