Kezdőlap


Feladat:	916. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aczél F. , Bartók I. , Jánosy I. , König D. , Pilczer P. , Pintér M. , Szmodics Hildegárd
Füzet:	1901/október, 45 - 47. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Koordináta-geometria, Síkgeometriai szerkesztések, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/február: 916. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Ha valamelv $α$ irányszögnek megfelelő radiusvector $r_{1}$ és $α + π$ szögnek megfelelö radiusvector $r_{2}$ , akkor:

\begin{matrix} r_{1} = p sin 5 α és r_{2} = p sin (5 α + 5 π) = - sin 5 α . \end{matrix}

Minthogy azonban

α

és

α + π

szögek mozgószárai egy egyenesbe esnek, de ellenkező irányúak, azért

r_{1}

és

α

ugyanazon pontot képviselik, mint

r_{2}

és

(α + π)

. Tehát a görbe összes pontjait megszerkeszthetjük, ha

ϑ

-t

0

-tól

π

-ig változtatjuk
Míg

ϑ

0^{\circ}

-tól

π

-ig változik, addig ötször veszi fel absolut maximális értékét és pedig ha:

sin 5 ϑ = \pm 1

, vagyis ha

ϑ = 18^{\circ}, 54^{\circ}, 90^{\circ}, 126^{\circ}, 162^{\circ}

, a mikor ugyanis

r = p, - p, p, - p, p

. Tehát a görbének összesen

5

pontja közös a sarkból

p

sugárral rajzolt körrel. A görbe többi pontjai a körön belül vannak.

p = 0

, ha

sin 5 ϑ = 0

, vagyis ha

ϑ = 0^{\circ}, 36^{\circ}, 72^{\circ}, 108^{\circ}, 144^{\circ}, 180^{\circ}

Míg

ϑ

0^{\circ}

-tól

18^{\circ}

-ig növekedik, addig

sin 5 ϑ

növekedésével

r

is nő s ha

ϑ = 18^{\circ}

, akkor

r

eléri maximumát. Míg

ϑ

18^{\circ}

-tól

36^{\circ}

-ig nő, addig

sin 5 ϑ

, s vele együtt

r

is fogy, végre

ϑ = 36^{\circ}

, akkor

r = 0

, vagyis a sarkba esik.
Vizsgáljuk most meg, nincs-e valami összefüggés a

0^{\circ}

és

36^{\circ}

közti irányszögnek megfelelő radius vector és az őt

36^{\circ}

-ra kiegészítő szögnek megfelelő radius vector között?
Legyen tehát a szög

α

, radius vectora

r_{1}

, őt

36^{\circ}

-ra kiegészítő szöge

36^{\circ} - α

, s ennek radius vectora

r_{2}

, akkor

r_{1} = p sin 5 α, r_{2} = p sin (180^{\circ} - 5 α) = p sin 5 α

, vagyis: míg

ϑ

0^{\circ}

-tól

36^{\circ}

-ig nő, addig oly görbét nyerünk, a mely a

\frac{36^{\circ}}{2} = 18^{\circ}

-nak megfelelő radius vectorra, mint tengelyre symmetrikus. Hogy a görbe több pontját nyerhessük legyen

ϑ = 0^{\circ}, 6^{\circ}, 12^{\circ}, 18^{\circ}, 24^{\circ}, 32^{\circ}, 36^{\circ}

, akkor

r = 0, \frac{p}{2}, \frac{p}{2} \sqrt[]{3}, p, \frac{p}{2} \sqrt[]{3}, \frac{p}{2}, 0

. Eme sarkcoordinaták által meghatározott pontok

O A

görbén vannak.
Míg

ϑ

36^{\circ}

-tól

72^{\circ}

-ig változik, addig

sin 5 ϑ

mindig negatív lévén

r

is negatív, tehát ha

ϑ, 36^{\circ}, 42^{\circ}, 48^{\circ}, 54^{\circ}, 60^{\circ}, 72^{\circ}

, akkor

r = 0, - \frac{p}{2}, - \frac{p}{2} \sqrt[]{3}, - p, - \frac{p}{2} \sqrt[]{3}, - \frac{p}{2}, 0

, s a görbe

B O

lesz.
Míg

ϑ

72^{\circ}

-tól

108^{\circ}

-ig változik, addig

sin 5 ϑ

positív, s így

r

is positív, míg

ϑ

108^{\circ}

-tól

144^{\circ}

-ig nő, addig

sin 5 ϑ

negatív lévén

r

is negatív, s végül míg

ϑ

144^{\circ} - 180^{\circ}

-ig nő, addig

sin 5 ϑ

s így

r

is positív. Az előbbi két szerkesztéshez hasonlóan nyerjük

O C, O D

és

O E

görbéket, a melyek mindegyike ugyanoly tulajdonságú, mint

O A

görbe.
Tehát az adott egyenlet görbéje a sarkból

p

sugárral rajzolt körben levő

A B C D E O

csillagidom.
Megjegyzendő azonban, hogy

A O B, B O C, C O D, D O E

és

E O A

nem körívek.

2^{\circ}

. Hogy a görbe egyenletét derékszögű coordinátákban kifejezhessük, alkalmaznunk kell az adott egyenletben a poláris és a derékszögű coordináták között fennálló következő összefüggéseket:

\begin{matrix} r = \sqrt[]{x^{2} + y^{2}} és sin ϑ = \frac{y}{\sqrt[]{x^{2} + y^{2}}} . \end{matrix}

Eme értékeket megadott egyenletünkbe téve és a könnyen igazolható

\begin{matrix} sin 5 ϑ = 5 sin ϑ - 20 sin^{3} ϑ + 16 sin^{5} ϑ \end{matrix}

képletet alkalmazva, kapjuk:

\begin{matrix} \sqrt[]{x^{2} + y^{2}} = 5 p \frac{y}{\sqrt[]{x^{2} + y^{2}}} - 20 p \frac{y^{3}}{{(\sqrt[]{x^{2} + y^{2}})}^{3}} + 16 \frac{y^{5}}{{(\sqrt[]{x^{2} + y^{2}})}^{5}}, \end{matrix}

miből ered:

\begin{matrix} {(x^{2} + y^{2})}^{3} = p y (5 x^{4} - 10 x^{2} y^{2} + y^{4}) \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} x^{6} - 5 p x^{4} y + 3 x^{4} y^{2} + 10 p x^{2} y^{3} + 3 x^{2} y^{4} - p y^{5} + y^{6} = 0. \end{matrix}

(Szmodics Hildegárd, Kaposvár.)

A feladatot még megoldották: Aczél F., Bartók I., Jánosy I., König D., Pilczer P., Pintér M.