Kezdőlap


Feladat:	911. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Haar Alfréd
Füzet:	1901/október, 44 - 45. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/február: 911. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha alkalmazzuk az ismeretes

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - p \end{matrix}

összefüggéseket, akkor nyerjük, hogy

\begin{matrix} - r = y_{1} + y_{2} = \frac{x_{1}}{x_{1} - 1} + \frac{x_{2}}{x_{2} - 1} = \frac{2 x_{1} x_{2} - (x_{1} + x_{2})}{x_{1} x_{2} - (x_{1} + x_{2}) + 1} = \frac{2 q + p}{q + p + 1} \end{matrix}

és

\begin{matrix} s = y_{1} \cdot y_{2} = \frac{x_{1}}{x_{1} - 1} \cdot \frac{x_{2}}{x_{2} - 1} = \frac{x_{1} x_{2}}{x_{1} x_{2} - (x_{1} + x_{2}) + 1} = \frac{q}{q + p + 1} . \end{matrix}

A megadott két egyenlet identikus, ha

p = r

és

q = s

, vagyis ha:

\begin{matrix} p = \frac{2 q + p}{q + p + 1} \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} q = \frac{q}{q + p + 1} \end{matrix}

(4)

(4)

-ből vagy

q = 0

, a mikor

(3)

-ból

p = 0

, vagy

\begin{matrix} p + q = 0, \end{matrix}

mely feltétel az első feltételt is magában foglalja. Ennélfogva

p + q = 0

, minthogy ez a

(3)

alatti egyenletet is kielégíti, ama szükséges és egyúttal elegendő feltétel is, mely mellett a két egyenlet identikus.

(Haar Alfréd, Budapest.)

Megoldások száma: 33.