Kezdőlap


Feladat:	907. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Aczél F. , Bartók Imre , Bayer B. , Bogdán G. , Dessauer A. , Enyedi B. , Haar A. , Hirschfeld Gy. , Jánossy I. , Kalmár S. , Kertész F. , König D. , Mixich P. , Pilczer P. , Pivnyik I. , Póka Gy. , Sasvári J. , Schlesinger A. , Schmidl I. , Schwartz S. , Sümegi Gy. , Szmodics H. , Tóbiás J. L.
Füzet:	1901/október, 50 - 51. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Beírt gömb, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenes körkúpok, Szögfüggvények a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/január: 907. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kúp csúcsszöge $2 φ$ , az alapkör sugara $R$ , az alkotó $l$ és a gömb sugara $r$ , akkor

\begin{matrix} 4 r^{2} π = \frac{2}{3} R π l \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 6 r^{2} = R l . \end{matrix}

(1)

Megfelelő hasonló háromszögekből következik, hogy

\begin{matrix} l : \sqrt[]{l^{2} - R^{2}} - r = R : r, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} l + R : R = \sqrt[]{l^{2} - R^{2}} : r \end{matrix}

miből

\begin{matrix} r^{2} = \frac{R^{2} (l^{2} - R^{2})}{{(l + R)}^{2}} = \frac{R^{2} (l - R)}{(l + R)} \end{matrix}

(2)

(2)

-t

(1)

-be téve:

\begin{matrix} 6 \frac{R^{2} (l - R)}{(l + R)} = R l \end{matrix}

Vagyis rendezve

\begin{matrix} l^{2} - 5 l R + 6 R^{2} = 0 \end{matrix}

miből

\begin{matrix} l_{1} = 2 R, l_{2} = 3 R \end{matrix}

s így

\begin{matrix} sin φ_{1} = \frac{R}{2 R} = \frac{1}{2}, sin φ_{2} = \frac{R}{3 R} = \frac{1}{3} \end{matrix}

a végre

\begin{matrix} 2 φ_{1} = 60^{\circ}, 2 φ_{2} = 38^{\circ} 56' 33'' . \end{matrix}

(Bartók lmre, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Aczél F., Bayer B., Bogdán G., Dessauer A., Enyedi B. , Haar A., Hirschfeld Gy., Jánossy I., Kalmár S., Kertész F., König D., Mixich P., Pilczer P., Pivnyik I., Póka Gy., Sasvári J., Schlesinger A., Schmidl I., Schwartz S., Sümegi Gy., Szmodics H., Tóbiás L.