Feladat: 905. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Aczél F. ,  Bartók I. ,  Bayer B. ,  Beck P. M. ,  Blau A. ,  Bogdán G. ,  Dessauer A. ,  Deutsch I. ,  Enyedi B. ,  Görgey A. ,  Haar A. ,  Harsányi Z. ,  Hausvater J. ,  Hirschfeld Gy. ,  Kacziander E. ,  Kalmár S. ,  Kertész F. ,  Kertész G. ,  König D. ,  Lázár L. ,  Ligeti P. ,  Mixich P. ,  Pazsiczky G. ,  Pilczer P. ,  Pintér M. ,  Pivnyik I. ,  Póka Gy. ,  Raab R. ,  Riesz K. ,  Riesz M. ,  Riesz S. ,  Sasvári J. ,  Schmidl I. ,  Selényi P. ,  Simon S. ,  Spitzer V. ,  Steiner M. ,  Sümegi Gy. ,  Szávay Z. ,  Szmodics H. ,  Szücs Adolf ,  Tóbiás J. L. ,  Tóth B. ,  Ungár B. 
Füzet: 1902/február, 167 - 168. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek egybevágósága, Szögfelező egyenes, Körérintési szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1901/január: 905. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

α)  Messe az adott B pontban a b körhöz rajzolt érintő a két adott kör hatványvonalát P-ben és húzzuk meg e pontból az a körhöz a PA és PA1 érintőket. PA-ra A-ban, PB-re B-hen emelt merőlegesek O-ban; PA1-re A1-ben, PB-re B-ben emelt merőlegesek pedig egymást O1-ben metszik. O és O1 a keresett körök középpontjai.

 

Bizonyítás: P hatványvonalon fekszik, tehát
PA=PB.
De
PAO∢=PBO∢=90∘,
miért is
PAO△≅PBO△,
vagyis
AO=OB.
Épp így:
A1O1=O1BésPA1O1∢=PBO1∢=90∘.
 

β)  A B pontban vont érintő és az a egyenes által bezárt szögek felező egyenesei a b pontban az érintőre emelt merőlegest O, illetőleg O1-ben, a keresett körök középpontjaiban metszik.
A szerkesztés helyessége közvetlenül belátható, mert a szögfelező minden egyes pontja egyenlő távolságban van a száraktól.
 

γ) Emeljünk b egyenesre ennek B pontjában merőlegest s vigyük rá az a kör sugarát úgy, hogy BC=BC1=r legyen. Ezután kössük össze C-t (C1-et) az a kör O középpontjával. Ha a B-től CO-val (C1O-val) párhuzamosan rajzolt egyenes az a kört A-ban (A1-ben) metszi, akkor CB(C1B) és OA(OA1) metszéspontja a keresett körök O'(O'1) középpontjai.
Bizonyítás. Ugyanis:
AO':BO'=AO:BC=1:1,
tehát
AO'=BO'
és épp így
A1O1=BO1.

(Szűcs Adolf, Budapest.)
 

A feladatot még megoldották: Aczél F., Bartók I., Bayer B., Beck P. M., Blau A., Bogdán G., Dessauer A., Deutsch I., Enyedi B., Haar A., Harsányi Z., Hausvater J., Hirschfeld Gy., Görgey A., Kacziander E., Kalmár S., Kertész G., Kertész F., König D., Lázár L., Ligeti P., Mixich P., Pazsiczky G., Pilczer P., Pivnyik J., Pintér M., Póka Gy., Raab R., Riesz K., Riesz M., Riesz S., Sasvári J., Schmidl I., Selényi P., Simon S., Spitzer V., Steiner M., Sümegi Gy., Szávay Z., Szmodics H., Tóbiás J. L., Tóth B., Ungár B.