Kezdőlap


Feladat:	904. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Aczél F. , Bartók I. , Bayer B. , Beck P. , Blau A. , Bogdán Géza , Demjén E. , Dessauer A. , Deutsch I. , Enyedi B. , Freund R. , Haar A. , Harsányi Z. , Hirschfeld Gy. , Jánosy J. , Kalmár S. , Kertész F. , Kertész G. , Klein A. , König D. , Ligeti P. , Losonczy J. , Mixich P. , Pilczer P. , Pintér M. , Pivnyik I. , Póka Gy. , Raab R. , Riesz K. , Riesz M. , Sasvári J. , Schlesinger A. , Schmidl Imre , Schwarz Gy. , Simon S. , Spitzer V. , Steiner M. , Sümegi Gy. , Szalonnay A. , Szávay Z. , Szmodics H. , Tóbiás J. L. , Ungár B. , Weisz P.
Füzet:	1901/november, 72 - 73. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrnégyszögek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Koszinusztétel alkalmazása, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/január: 904. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$I. megoldás.$ $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ húrnégyszög, tehát Ptolemeus tételénél fogva:

\begin{matrix} A_{1} A_{2} \cdot A_{3} A_{4} + A_{1} A_{4} \cdot A_{2} A_{3} = A_{1} A_{3} \cdot A_{2} A_{4} . \end{matrix}

Ámde

\begin{matrix} A_{3} A_{4} = A_{2} A_{3} = A_{1} A_{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} A_{1} A_{4} = A_{2} A_{4} = A_{1} A_{3}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} A_{1} A_{2}^{2} + A_{1} A_{2} \cdot A_{1} A_{3} = A_{1} A_{3}^{2}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} A_{1} A_{2}^{4} - 2 \cdot A_{1} A_{2}^{2} + A_{1} A_{3}^{4} = {(A_{1} A_{2} \cdot A_{1} A_{3})}^{2} . \end{matrix}

És mivel (K. M. L. VII. 749. feladat)

\begin{matrix} {(A_{1} A_{2} \cdot A_{1} A_{3})}^{2} = 5, \end{matrix}

tehát mindkét oldalhoz

4 \cdot {(A_{1} A_{2}^{2} \cdot A_{1} A_{3}^{2})}^{2} = 20

-at hozzáadva:

\begin{matrix} {({\bar{A_{1} A_{2}}}^{2} + {\bar{A_{1} A_{3}}}^{2})}^{2} = 25 \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} {\bar{A_{1} A_{2}}}^{2} + {\bar{A_{1} A_{3}}}^{2} = 5 \end{matrix}

a hol a

\sqrt[]{25}

-nek positív értéke veendö, mert

A_{1} A_{2}

és

A_{1} A_{3}

és ezekkel együtt

{\bar{A_{1} A_{2}}}^{2} + {\bar{A_{1} A_{3}}}^{2}

is positív.

(Bogdán Géza, Győr.)

II. megoldás.

O

a kör középpontja, akkor az

A_{1} O A_{2}

és

A_{1} O A_{3}

háromszögekből:

\begin{matrix} A_{1} A_{2}^{2} = 1^{2} + 1^{2} - 2 sin 18^{\circ} \end{matrix}

és

\begin{matrix} A_{1} A_{3}^{2} = 1^{2} + 1^{2} + 2 cos 36^{\circ}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} A_{1} A_{2}^{2} + A_{1} A_{3}^{2} = 4 + 2 (cos 36^{\circ} - sin 18^{\circ}) = 4 + 2 (\frac{1 + \sqrt[]{5}}{4} - \frac{- 1 + \sqrt[]{5}}{4}) = 5. \end{matrix}

(Schmidl Imre, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Aczél F., Bartók I., Bayer B., Beck P., Blau A., Demjén E., Dessauer A., Deutsch I., Enyedi B., Freund R., Haar A., Harsányi Z., Hirschfeld Gy., Jánosy J., Kalmár S., Kertész F., Kertész G., Klein A., König D., Ligeti P., Losonczy J., Mixich P. , Pilczer P., Pintér M., Pivnyik I., Póka Gy., Raab R., Riesz M., Riesz K., Sasvári J., Schlesinger A., Schwarcz Gv., Simon S., Spitzer V., Szalonna A., Szávay Z., Szmodics H., Steiner M., Sümegi Gy., Tóbiás J. L., Ungár B., Weisz P.