Kezdőlap


Feladat:	903. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aczél F. , Bartók I. , Bayer B. , Bogdán G. , Deutsch I. , Enyedi B. , Haar A. , Kertész Gusztáv , König D. , Pivnyik I. , Póka Gy. , Riesz K. , Riesz M. , Sasvári J. , Schmidl I. , Szmodics H.
Füzet:	1902/március, 193. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/január: 903. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Legyenek az adott $O_{1}$ és $O_{2}$ középpontú körök sugarai rendre $r_{1}$ és $r_{2}$ . Rajzoljunk az $O_{1}$ -ből és $O_{2}$ -ből mint középpontokból $\frac{r_{1}}{2}$ , illetőleg $\frac{r_{2}}{2}$ sugarakkal köröket, s húzzuk meg e két kör közös külső és belső érintőit. E négy egyenes az $r_{1}$ sugarú kört $A_{1}, A_{2}, ..., A_{8}$ , az $r_{2}$ sugarú kört pedig $B_{1}, B_{2}, ..., B_{8}$ pontokban metszi úgy, hogy $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ és $A_{5} A_{6} B_{6} B_{5}$ egyenes a külső, $A_{3} A_{4} B_{3} B_{4}$ és $A_{7} A_{8} B_{7} B_{8}$ pedig a belső érintők.
Ha az $A_{1}$ és $B_{1}, A_{2}$ és $B_{2}, ..., A_{8}$ és $B_{3}$ pontokban rajzolt érintők egymást a $C_{1}, C_{2}, ..., C_{8}$ pontokban metszik, akkor $A_{1} B_{1} C_{1}, A_{2} B_{2} C_{2}, ..., A_{8} B_{8} C_{8}$ lesznek a keresett háromszögek.
Szerkesztésünk helyességét pl. az $A_{2} B_{2} C_{2}$ háromszögről fogjuk kimutatni. A szerkesztésből ugyanis következik, hogy:

\begin{matrix} A_{1} A_{2} O_{1} ∢ = B_{1} B_{2} O_{2} ∢ = 30^{\circ}, \end{matrix}

tehát:

\begin{matrix} B_{2} A_{2} C_{2} ∢ = 90^{\circ} - A_{1} A_{2} O_{1} ∢ = 60^{\circ} \end{matrix}

és

\begin{matrix} A_{2} B_{2} C_{2} ∢ = 90^{\circ} - B_{1} B_{2} O_{2} ∢ = 60^{\circ} . \end{matrix}

2^{\circ}

. Minthogy:

\begin{matrix} C_{1} A_{1} = C_{1} B_{1}, \end{matrix}

\begin{matrix} ... \end{matrix}

\begin{matrix} ... \end{matrix}

\begin{matrix} C_{8} A_{8} = C_{8} B_{8}, \end{matrix}

azért a

C

pontok geometriai helye a két adott kör hatványvonala.

(Kertész Gusztáv, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Aczél F., Bartók I., Bayer B, Bogdán G., Deutsch I., Enyedi B., Haar A., König D, Pivnyik I., Póka Gy., Riesz K., Riesz M., Sasvári J., Schmidl I., Szmodics H.