Kezdőlap


Feladat:	899. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aczél F. , Bartók I. , Bayer B. , Bogdán G. , Dessauer A. , Haar A. , Kertész F. , Kőnig Dénes , Lázár L. , Ligeti P. , Póka Gy. , Raab R. , Sasvári J. , Schlesinger A. , Schmidl I. , Schwarz Gy. , Selényi M. , Szalonnay A. , Szmodics H. , Szmodics K. , Tóbiás J. L. , Wohlstein S.
Füzet:	1901/október, 42 - 43. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Legnagyobb közös osztó, Prímtényezős felbontás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/január: 899. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kimutatjuk, hogy $(n, d_{1}) (n_{1}, d_{2})$ szorzatot különböző törzsszámok hatványainak szorzatára bontva, csupa oly hatványokat nyerünk, melyek $n (n, d_{1} + d_{2})$ -nek osztói. Ha ezt kimutattuk, akkor, minthogy e hatványok egymás közt mind relatív prímek, kitűnik, hogy szorzatuk: $(n, d_{1}) (n, d_{2})$ is osztója lesz $n (n, d_{1} + d_{2})$ -nek. Akkor pedig:

\begin{matrix} n (n, d_{1} + d_{2}) ≧ (n, d_{1}) (n, d_{2}) \end{matrix}

a miből következik, hogy

\begin{matrix} \frac{(n, d_{1} + d_{2})}{(n, d_{1}) (n, d_{2})} ≧ \frac{1}{n} . \end{matrix}

Hogy a fenti tételt bebizonyíthassuk, bontsuk fel

(n, d_{1})

-et,

(n, d_{2})

-t törzstényezőkre, akkor lesz:

\begin{matrix} (n, d_{1}) = p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} ... q_{1}^{b_{1}} q_{2}^{b_{2}} ..., \end{matrix}

\begin{matrix} (n, d_{2}) = p_{1}^{c_{1}} p_{2}^{c_{2}} ... r_{1}^{d_{1}} r_{2}^{d_{2}} ..., \end{matrix}

hol

p_{1}, p_{2}, ... q_{1}, q_{2}, ... r_{1}, r_{2}, ...

prímszámok és

p_{1}, p_{2}, ...

mindkét számban, de nem okvetlenül ugyanazon a hatványon fordul elő. Legyen

a_{1} > c_{1};