Kezdőlap


Feladat:	893. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Enyedi Béla , Szmodics Hildegárd
Füzet:	1902/március, 192. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/január: 893. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$I. megoldás.$ Legyen a keresett húr $2 x$ , akkor a feladat értelmében

\begin{matrix} y = (R + \sqrt[]{R^{2} - x^{2})} x - (R - \sqrt[]{R^{2} - x^{2}}) x = 2 x \sqrt[]{(R^{2} - x^{2})} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} y = 2 \sqrt[]{x^{2} (R^{2} - x^{2})} . \end{matrix}

Minthogy

x^{2} + R^{2} - x^{2} = R^{2}

, azért maximum esetén

\begin{matrix} R^{2} - x^{2} = x^{2}, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} x = \frac{R}{2} \sqrt[]{2} és 2 x = R \sqrt[]{2} . \end{matrix}

A feltételnek tehát a húrnégyzet egyik oldala felel meg.

(Szmodics Hildegárd, Kaposvár.)

II. megoldás.

Legyen az átmérőre húzott merőleges húr

2 x

, ennek középponti szöge

2 α

, akkor

\begin{matrix} y = r sin α (r + r cos α) - r sin α (r - r cos α) = 2 r^{2} sin α cos α \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} y = r^{2} sin 2 α . \end{matrix}

Ezen függvény maximális, ha

2 α = 90^{\circ}

, mely esetben

y = r^{2}

(Enyedi Béla, Budapest.)

Megoldások száma: 36.