Feladat: 890. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Aczél F. ,  Bartók I. ,  Bayer B. ,  Kőnig Dénes ,  Lázár L. ,  Póka Gy. ,  Selényi M. ,  Szmodics H. 
Füzet: 1901/február, 169 - 170. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Geometriai egyenlőtlenségek, Háromszögek nevezetes tételei, Sorozat határértéke, Kombinatorikai leszámolási problémák, Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1900/december: 890. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Osszuk fel a fapálczát 2n egyenlő részre és számítsuk ki a keresett valószínűséget először abban az esetben, ha a pálczát csak a keletkezett osztópontokban törhetjük el.
Legyen xy és z a pálcza 3 részének a hossza; hogy e részekből háromszöget alkothassunk, a következő feltételeknek kell fennállniok:
x<y+z,y<x+z,z<x+y,
vagy ha z helyébe 2n-x-y-t helyettesítünk:
x<n,y<n,x+y>n.
Ezen egyenlőtlenségeknek csak a következő értékpárok tesznek eleget:

Ha  x=2,  akkor  y=n-1,"x=3,"y=n-1,  vagy  n-2,"x=4,"y=n-1,"n-2,  v.  n-3,........................"x=n-1,  akkor  y=n-1,  v.  n-2,...  v.  3,  v.  2.
Az összes kedvező esetek száma tehát:
1+2+3+...+(n-2)=(n-2)(n-1)2.
Az összes lehető esetek pedig a következők:
x=1ésy=1,2,3,...,2n-2
x=2ésy=1,2,3,...,2n-3stb.,
ezeknek száma tehát:
2n-2+2n-3+2n-4+...2+1=(2n-2)(2n-1)2.
S így a keresett valószínűség :
v=(n-2)(n-1)(2n-2)(2n-1).

Ha most n-et s így az osztópontok számát is ∞-nek vesszük, vagyis a pálcza bármely pontjában eltörhető, akkor, minthogy v (számlálóját és nevezőjét n2-tel osztva) így is írható:
1-3n+2n24-6n+2n2,
a keresett valószínűség: 14.
 

(König Dénes, Budapest.)
 

A feladatot még megoldották: Aczél V., Bartók I., Bayer B., Lázár L., Póka Gy., Selényi M., Szmodics K.