Kezdőlap


Feladat:	888. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aczél F. , Bartók I. , Bayer B. , Blau A. , Dessauer A. , Deutsch I. , Haar A. , Hirschfeld Gy. , Kalmár S. , Kertész F. , Kertész G. , Kőnig Dénes , Lázár L. , Ligeti P. , Papp F. , Pilczer P. , Pivnyik I. , Póka Gy. , Raab R. , Riesz K. , Sasvári J. , Sümegi Gy. , Szávay Z. , Szmodics Hildegárd , Tóbiás L. , Tóth B. , Wohlstein S.
Füzet:	1902/január, 137 - 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kúpszeletek érintői, Egyenes, Paralelogrammák, Projektív geometria, Parabola, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/december: 888. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek a parabola $F$ focusából a két érintőre bocsájtott merőlegesek talppontjai $R_{1}$ és $R_{2}$ , az érintők metszéspontja pedig $M$ , akkor

\begin{matrix} R_{1} M R_{2} ∢ = M R_{2} F ∢ = R_{2} F R_{1} ∢ = F R_{1} M ∢ = 90^{\circ} . \end{matrix}

R_{1} M R_{2} F

négyszög tehát parallelogramma, melynek

R_{1} R_{2}

‐ a parabola csúcsérintője ‐ egyik átlója; ha tehát az átlók metszéspontja

D

, akkor :

\begin{matrix} F D = D M, \end{matrix}

vagyis (K. M. L. VIII. 97. III. tétel.)

M

geometriai helye a directrix.

(A .)

II. megoldás. Ha az

F

tükörképeit az érintőkre vonatkozólag

P'_{1}

és

P'_{2}

-vel jelöljük, akkor

P'_{1}

és

P'_{2}

(K. M. L. VIII. 98. IX. tétel.) az irányvonalon feküsznek. Az érintők most a

P' F P'_{2}

derékszögű háromszög

F P'_{1}

és

F P'_{2}

oldalak középpontjaiban emelt merőlegesek.

M

tehát ezen háromszög köré írt kör középpontja, s így

P'_{1} P'_{2}

közepén, tehát az irányvonalon fekszik.

(Kőnig Dénes, Budapest.)

Megjegyzés. Ha az érintési pontokat

P_{1}

és

P_{2}

-vel jelölöm, akkor :

\begin{matrix} P_{1} F P'_{1} ∢ = P_{1} P'_{1} F ∢ \end{matrix}

\begin{matrix} P_{2} F P'_{2} ∢ = P_{2} P'_{2} F ∢, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} P_{1} F P'_{1} ∢ + P_{2} F P'_{2} F ∢ = 90^{\circ}, \end{matrix}

ámde:

\begin{matrix} P'_{1} F P'_{2} F ∢ = 90^{\circ}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} P_{1} F P'_{1} ∢ + P'_{1} F P'_{2} F ∢ + P_{2} F P'_{2} F ∢ = 180^{\circ} . \end{matrix}

P_{1}, F

és

P_{2}

pontok is egy egyenesen feküsznek. Ha tehát az

M

-et polusnak, és a hozzátartozó érintési húrt

(P_{1} P_{2})

polárisnak nevezzük, akkor:
"Ha a polus a vezérvonalon mozog, akkor a hozzátartozó poláris a focuson megy át."

(Szmodics Hildegárd, Kaposvár.)

A feladatot még megoldották: Aczél F., Bayer B., Blau A., Bartók I., Dessauer A., Deutsch I., Haar A., Hirschfeld Gy., Kalmár S., Kertész F., Kertész G., Lázár L., Ligeti P., Papp F., Pilczer P., Pivnyik I., Póka Gy., Raab R., Riesz K., Sasvári J., Sümegi Gy., Szávay Z., Tóbiás L., Tóth B., Wohlstein S.