Kezdőlap


Feladat:	887. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aczél F. , Bartók I. , Bayer B. , Bogdán G. , Dessauer A. , Haar A. , Hirschfeld Gy. , Kertész F. , König D. , Lázár L. , Pilczer Pál , Póka Gy. , Riesz K. , Sasvári J. , Sümegi Gy. , Szmodics H. , Tóbiás J. L. , Wohlstein S.
Füzet:	1901/június, 253 - 254. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Derékszögű háromszögek geometriája, Magasságvonal, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/december: 887. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a befogókat $b$ és $c$ -vel, az átfogóhoz tartozó magasságot pedig $m$ -mel jelöljük, akkor a feltétel értelmében:

\begin{matrix} b^{2} + c^{2} = a^{2} \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} m^{2} = {(b - c)}^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \end{matrix}

(2)

és

\begin{matrix} b c = a m . \end{matrix}

(3)

Ez három egyenlet három ismeretlennel, melyekből

m

kiszámítható. Ugyanis:

\begin{matrix} (1) + (2) a^{2} - m^{2} = 2 b c \end{matrix}

vagy

(3)

-t tekintetbe véve:

\begin{matrix} m^{2} + 2 a m - a^{2} = 0, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} m = - a + a \sqrt[]{2} = a \sqrt[]{2} - a . \end{matrix}

\sqrt[]{2}

-nek csak a positív értéke veendő, mert

m

nem lehet negatív. E szerint a szerkesztés a következőként történik:
Ha olyan

A B D

derékszögű háromszöget rajzolunk, a melyben

A B = B D = a

, akkor

A D = a \sqrt[]{2}

. Ha már most

D E = a

-t a

D A

-ról levágjuk, akkor:

\begin{matrix} m = A E = a \sqrt[]{2} - a . \end{matrix}

Az átfogó és a hozzátartozó magasság ismerete után a keresett derékszögű háromszöget könnyen megszerkeszthetjük.

(Pilczer Pál, Kaposvár.)

A feladatot még megoldották: Aczél F., Bartók I., Bayer B., Bogdán G., Dessauer A., Haar A., Hirchfeld Gy., Kertész F., König D. , Lázár L., Póka Gy., Riesz K., Sasvári J., Sümegi Gy., Smodics H., Tóbiás J. L , Wohlstein S.