Kezdőlap


Feladat:	885. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aczél F. , Bartók I. , Bayer B. , Blau A. , Bogdán G. , Dessauer A. , Deutsch I. , Goldstein A. , Haar A. , Hirschfeld Gy. , Jánosy J. , Kalmár S. , Kertész F. , Klein S. , König D. , Lázár L. , Ligeti P. , Papp F. , Pilczer P. , Pintér M. , Póka Gy. , Raab R. , Riesz Kornél , Sasvári J. , Schlesinger A. , Selényi P. , Sümegi Gy. , Szmodics H. , Wohlstein S.
Füzet:	1901/június, 251 - 252. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Háromszögek hasonlósága, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/december: 885. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak és jelöljük a félkör középpontját $O$ -val, a $B C$ és $O D$ metszéspontját $H$ -val, akkor :

\begin{matrix} A M C Δ = C P D Δ \end{matrix}

és

\begin{matrix} B M C Δ = C P B Δ, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} A B C Δ = B C D Δ, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} A C \cdot B C = D H \cdot B C, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} A C = D H . \end{matrix}

A C

meghosszabbítására vigyük fel a

C L = A C

darabot és jelöljük az

L D

és

A B

metszéspontját

S

-sel; akkor

\begin{matrix} A S : A B = A L : A C, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} A S = 2 A B . \end{matrix}

\begin{matrix} D O S Δ \sim C A B Δ \end{matrix}

és

\begin{matrix} D O B Δ \sim C A M Δ, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} A B : S O = A M : O B . \end{matrix}

\begin{matrix} A B = \frac{A S}{2} = \frac{S O + O A}{2} = \frac{S O + \frac{S O}{3}}{2} = \frac{2}{3} S O . \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} A M = \frac{2}{3} O B = \frac{1}{3} A B . \end{matrix}

(Riesz Kornél, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Aczél F., Bartók I., Bayer B., Blau A., Bogdán G., Dessauer A., Deutsch I., Goldstein A., Haar A., Hirschfeld Gy., Jánosy J., Kalmár S., Kertész F., Klein A., König D., Lázár L., Ligeti P., Papp F., Pilczer P., Pintér M., Póka Gy., Raab R., Sasvári J., Schlesinger A., Selényi P., Sümegi Gy., Szmodics H., Wohlstein S.