Kezdőlap


Feladat:	883. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kertész Ferencz
Füzet:	1901/június, 243. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Magasabb fokú egyenletrendszerek, A komplex szám algebrai alakja, Egységgyökök, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/december: 883. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A második egyenletet az elsővel osztva:

\begin{matrix} \frac{y^{3}}{x^{3}} = 8, miből y = 2 x . \end{matrix}

A harmadik egyenletet az elsővel osztva:

\begin{matrix} \frac{z^{3}}{x^{3}} = 27, miből z = 3 x, \end{matrix}

y

és

z

értékeit az első egyenletbe téve, nyerjük:

\begin{matrix} x^{5} = 1, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} x^{5} - 1 = (x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) = 0, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} x_{1} = 1, x_{2} és x_{3} = \frac{1}{4} (\sqrt[]{5} - 1 \pm i \sqrt[]{10 + 2 \sqrt[]{5}}) \end{matrix}

\begin{matrix} x_{4} és x_{5} = \frac{1}{4} (- \sqrt[]{5} + 1) \pm i \sqrt[]{10 - 2 \sqrt[]{5}}) . \end{matrix}

Minthogy

y = 2 x, z = 3 x

, azért

y

-nak és

z

-nek is

5

értéke van. Általában:

\begin{matrix} \sqrt[n]{1} = cos \frac{k \cdot 360^{\circ}}{n} + i sin \frac{k \cdot 360^{\circ}}{n} . \end{matrix}

(Kertész Ferencz, Szeged.)

Megoldások száma: 44.