Kezdőlap


Feladat:	879. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aczél F. , Bartók I. , Bayer B. , Haar A. , Hirschfeld Gy. , Pilczer P. , Pivnyik I. , Póka Gy. , Sasvári J. , Schlesinger A. , Szmodics Hildegárd , Tóbiás J. L.
Füzet:	1902/január, 135 - 136. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/december: 879. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $O A = a, O B = b, O C = c, O M = x$ , akkor a megvizsgálandó függvény:

\begin{matrix} m = \frac{(x - a) (x - b)}{x^{2} + c^{2}}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x^{2} (m - 1) + x (a + b) + m c^{2} - a b = 0 \end{matrix}

s így

\begin{matrix} x = \frac{- (a + b) \pm \sqrt[]{{(a + b)}^{2} - 4 (m - 1) (m c^{2} - a b)}}{2 (m - 1)} \end{matrix}

(1)

Hogy

x

valós legyen, kell hogy a gyökjel alatt álló kifejezés positív legyen; e kifejezést rendezve, kapjuk:

\begin{matrix} D = - 4 c^{2} m^{2} + 4 {(a b + c)}^{2} m + {(a - b)}^{2} . \end{matrix}

E kifejezés

m

-nek ama értékeinél positív, melyek a

D = 0

egyenlet gyökei között vannak. A kisebbik gyök adja a minimumot, a nagyobbik pedig a maximumot. Ha

c^{2} = a b

, akkor

\begin{matrix} D = 4 a b m^{2} - 8 a b m - {(a - b)}^{2} = 0, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} m = 1 \pm \frac{a + b}{2 \sqrt[]{a b}} . \end{matrix}

(Szmodics Hildegárd, Kaposvár.)

A feladatot még megoldották: Aczél F., Bartók I., Bayer B., Haar A., Hirschfeld Gy., Pilczer P., Pivnyik I., Póka Gy., Sasvári J., Schlesinger A., Tóbiás L.