Kezdőlap


Feladat:	878. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baranyó E. , Bartók I. , Bayer Béla , Blau A. , Haar A. , Hirschfeld Gy. , Kertész F. , Pilczer P. , Pivnyik I. , Riesz K. , Sasvári J. , Schlesinger A. , Szmodics H. , Tóbiás J. L.
Füzet:	1901/december, 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Négyzetek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/december: 878. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a négyzet egyik oldala $a, M C = x$ és $\frac{M A}{M B} = y$ ; akkor

\begin{matrix} y^{2} = \frac{{\bar{M A}}^{2}}{{\bar{M B}}^{2}} = \frac{a^{2} + {(a + x)}^{2}}{a^{2} + x^{2}}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} x^{2} (y^{2} - 1) - 2 a x + a^{2} (y^{2} - 2) = 0. \end{matrix}

Hogy

x

valós legyen, kell hogy az egyenlet discrirninána positív vagy

0

legyen, tehát hogy:

\begin{matrix} a^{2} - a^{2} (y^{2} - 1) (y^{2} - 2) ≧ 0, \end{matrix}

miből a maximum feltétele:

\begin{matrix} (y^{2} - 1) (y^{2} - 2) = 1 \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} y^{4} - 3 y^{2} + 1 = 0, \end{matrix}

s ebből

\begin{matrix} y^{2} = \frac{3 \pm \sqrt[]{5}}{2} . \end{matrix}

Minthogy a feladat értelmében

y > 1

, azért a gyökmennyiség positív jellel veendő s így

\begin{matrix} y^{2} = \frac{3 + \sqrt[]{5}}{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} x = \frac{2 a}{1 + \sqrt[]{5}}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} \frac{a}{2 x} = \frac{1 + \sqrt[]{5}}{4} = sin 54^{\circ} . \end{matrix}

Ennélfogva

2 M C = 2 x

olyan derékszögű háromszög átfogója, melynek egyik befogója

a

s az ezzel szemben fekvő szög

54^{\circ}

s így e háromszög megszerkeszthető.

(Bayer Béla, Losoncz.)

A feladatot még megoldották: Baranyó E., Bartók I., Blau A., Haar A., Hirschfeld Gy., Kertész F., Pilczer P., Pivnyik I., Riesz K., Sasvári J., Schlesinger A., Szmodics H., Tóbiás L.