Kezdőlap


Feladat:	876. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aczél F. , Baranyó E. , Bartók I. , Bayer Béla , Blau A. , Bogdán G. , Dessauer A. , Enyedi B. , Haar A. , Hirschfeld Gy. , Kertész G. , Lázár L. , Papp F. , Pilczer Pál , Pintér M. , Pivnyik I. , Póka Gy. , Raab R. , Riesz K. , Sasvári J. , Schlesinger A. , Szmodics H. , Tóbiás J. L. , Weisz P.
Füzet:	1901/november, 71 - 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Köréírt alakzatok, Terület, felszín, Trapézok, Érintőnégyszögek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/december: 876. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$I. megoldás.$ Legyen az $r$ sugarú kör köré írt egyenlőszárú trapéz $A B C D$ . Legyen $A D = B C = x$ , továbbá $A B = a$ és $C D = d$ ; akkor a trapéz $t$ területe:

\begin{matrix} t = \frac{(a + d)}{2} 2 r = (a + d) r, \end{matrix}

de minthogy a trapéz egyszersmind érintőnégyszög is, azért

\begin{matrix} (a + d) = 2 x, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} t = 2 x \cdot r . \end{matrix}

x ≧ 2 r

, miből következik, hogy a területnek minimális értéke van, mikor t.i.

x = 2 r

és így a terület minimuma

4 r^{2}

.
Minthogy

t = 2 x r

, azért

t

változása arányos

x

-szel.

(Pilczer Pál, Kaposvár.)

II. megoldás.

Adott

r

sugarú kör köré írható egyenlőszárú trapézek magassága mindig

2 r

. Ennélfogva a trapézek területe csupán a középvonaltól függ, vagyis annak lesz legkisebb területe, melynél a középvonal a legkisebb. A középvonal minimuma

2 r

s ebben az esetben a trapéz négyzet.

(Bayer Béla, Losoncz.)

A feladatot még megoldották: Aczél F., Baranyó E., Bartók I., Blau A., Bogdán G., Dessauer A., Enyedi B., Haar A., Hirschfeld Gy., Kertész F., Lázár L., Papp F., Pintér M., Pivnyik I., Póka Gy., Raab R., Riesz K., Sasvári J., Schlesinger A., Szmodics H., Tóbiás J. L., Weisz P.