Kezdőlap


Feladat:	869. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pilczer Pál
Füzet:	1901/február, 167 - 168. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/november: 869. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenletek így is írhatók:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = x (3 + y) \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} x^{4} + y^{4} = x^{2} (13 + y^{2}) \end{matrix}

(2)

(1)-et négyzetre emelve:

\begin{matrix} x^{4} + y^{4} = x^{2} (9 + 6 y - y^{2}) \end{matrix}

(3)

(3)-at (2)-vel összehasonlítva, nyerjük, hogy

\begin{matrix} x^{2} = 0, vagy x_{1} = x_{2} = 0, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} y_{1} = y_{2} = 0. \end{matrix}

Látjuk továbbá, hogy

\begin{matrix} 9 + 6 y - y^{2} = 13 + y^{2}, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} y = \frac{3 \pm 1}{2} \end{matrix}

y

ezen értékeit az (1) egyenletbe helyettesítve, nyerjük:

\begin{matrix} x^{2} - 5 x + 4 = 0, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x_{3} = 4, x_{4} = 1, \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} x^{2} - 4 x + 1 = 0, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x_{5} = 2 + \sqrt[]{3}, x_{6} = 2 - \sqrt[]{3} . \end{matrix}

(Pilczer Pál, Kaposvár.)

Megoldások száma: 46.