Feladat: 858. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Aczél F. ,  Bartók I. ,  Bayer B. ,  Blau A. ,  Dessauer A. ,  Hirschfeld Gy. ,  Kamenitzky M. ,  Kertész F. ,  Kőnig Dénes ,  Meesik G. ,  Póka Gy. ,  Riesz K. ,  Riesz M. ,  Sasvári J. ,  Schlesinger A. ,  Schmidl I. ,  Sümegi Gy. ,  Szántó H. ,  Szmodics H. ,  Tóbiás J. L. ,  Weisz P. ,  Wohlstein S. 
Füzet: 1901/április, 230. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Térfogat, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1900/október: 858. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ABCD és a PBCD tetraédereknek közös (BCDΔ) alaplapjuk van, tehát köbtartalmaik úgy aránylanak egymáshoz, mint megfelelő magasságaik, melyeknek viszonya a PA1:AA1 viszonnyal helyettesíthető. Tehát:

PBCDABCD=PA1AA1(1)
hasonlóképpen
PCDAABCD=PB1BB1(2)
PDABABCD=PC1CC1(3)
PABCABCD=PD1DD1(4)
E négy egyenletet összeadva és tekintetbe véve, hogy
PBCD+PCDA+PDAB+PABC=ABCD
kapjuk, hogy:
PA1AA1+PB1BB1+PC1CC1+PD1DD1=1.
(Megjegyzés: Ha P nem az ABCD tetraéderen belül van, akkor eredményünk csekély változást szenved.)
 

(König Dénes, Budapest.)
 

A feladatot még megoldották: Aczél F., Bartók I., Bayer B., Blau A., Dessauer A., Hirschfeld Gy., Kamenitzky M., Kertész F., Messik G., Póka Gy., Riesz K., Riesz M., Sasvári J., Schlesinger A., Schmidl I., Sümegi Gy., Szántó H., Szmodics H., Tóbiás J.L., Weisz P., Wohlstein J.