Kezdőlap


Feladat:	857. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1903/február, 173 - 174. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb feladványok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/október: 857. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A térbeli háromszög oldalait $a_{0}, b_{0}, c_{0}$ -t, ha $r_{0}$ a körülírt kör sugara a következő egyenletekből számíthatjuk ki:

\begin{matrix} a_{0} = 2 r_{0} sin α_{0} \end{matrix}

\begin{matrix} b_{0} = 2 r_{0} sin β_{0} \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} c_{0} = 2 r_{0} sin γ_{0} \end{matrix}

Ha pedig a projiciált háromszög oldalai

a_{1}, b_{1}, c_{1}

és a körülírt kör sugara

r_{1}

akkor:

\begin{matrix} a_{1} = 2 r_{1} sin α_{1} \end{matrix}

\begin{matrix} b_{1} = 2 r_{1} sin β_{1} \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} c_{1} = 2 r_{1} sin γ_{1} . \end{matrix}

Már most az

a_{0}, b_{0}, c_{0}

oldalak hajlásszögei

α', β', γ'

-re nézve:

\begin{matrix} cos α' = \frac{a_{1}}{a_{0}} = \frac{r_{1} sin α_{1}}{r_{0} sin α_{0}} \end{matrix}

\begin{matrix} cos β' = \frac{b_{1}}{b_{0}} = \frac{r_{1} sin β_{1}}{r_{0} sin β_{0}} \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} cos γ' = \frac{c_{1}}{c_{0}} = \frac{r_{1} sin γ_{1}}{r_{0} sin γ_{0}} . \end{matrix}

Hogy tehát a hajlásszögek meg legyenek határozva, csak az

\frac{r_{1}}{r_{0}} = x

hányados értékét kell ismernünk.
Kiindulunk a következő összefüggésből:

\begin{matrix} \sqrt[]{a_{0}^{2} - a_{1}^{2}} + \sqrt[]{b_{0}^{2} - b_{1}^{2}} = \sqrt[]{c_{0}^{2} - c_{1}^{2}}, \end{matrix}

(4)

a melyből az

(1)

és

(2)

-őt tekintetbe véve:

\begin{matrix} \sqrt[]{r_{0}^{2} sin^{2} α_{0} - r_{1}^{2} sin^{2} α_{1}} + \sqrt[]{r_{0}^{2} sin^{2} β_{0} - r_{1}^{2} sin^{2} β_{1}} = \sqrt[]{r_{0}^{2} sin^{2} γ_{0} - r_{1}^{2} sin^{2} γ_{1}} \end{matrix}

vagy

r_{0}

-val minden tagot osztva:

\begin{matrix} \sqrt[]{sin^{2} α_{0} - x^{2} sin^{2} α_{1}} + \sqrt[]{sin^{2} β_{0} - x^{2} sin^{2} β_{1}} = \sqrt[]{sin^{2} γ_{0} - x^{2} sin^{2} γ_{1}} . \end{matrix}

Egyszerűség okából írjunk az

x^{2}

helyébe

y

-t;

sin^{2} α_{0}, sin^{2} β_{0}, sin^{2} γ_{0}

helyébe

a, b, c

-t és

sin^{2} α_{1}, sin^{2} β_{1}, sin^{2} γ_{1}

helyébe

α, β, γ

-t, akkor az utolsó egyenletből kétszeri négyzetelés után nyerjük, hogy:

\begin{matrix} y^{2} [2 (α β + β γ + γ α) - (α^{2} + β^{2} + γ^{2})] + 2 y [(a α + b β + c γ) - \end{matrix}

\begin{matrix} - (a + b + c) (α + β + γ)] + [2 (a b + b c + c a) - (a^{2} + b^{2} + c^{2})] = 0. \end{matrix}

Ha pedig

\begin{matrix} α + β + γ = σ; β + γ - α = σ_{1}; α - β + γ = σ_{2}; α + β - γ = σ_{3} \end{matrix}

és

\begin{matrix} a + b + c = s; b + c - a = s_{1}; a - b + c = s_{2}; a + b - c = s_{3}, \end{matrix}

akkor:

\begin{matrix} y^{2} (σ_{1} σ_{2} + σ_{2} σ_{3} + σ_{3} σ_{1}) + y (s_{1} σ_{1} + s_{2} σ_{2} + s_{3} σ_{3} - s σ) + (s_{1} s_{2} + s_{2} s_{3} + s_{3} s_{1}) = 0; \end{matrix}

a honnan

y

és evvel együtt

x

is kiszámítható, mi által a feladat megoldottnak tekinthető.